Математика школьникам и студентам

На Ваш email отправлено письмо со ссылкой для активации аккаунта. Перейдите по этой ссылке для завершения регистрации. Спасибо!
Регистрация успешно завершена. Спасибо!
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Известно, что точка \[P\left( { - 1;2} \right)\] - центр квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой \[2x - 5y + 1 = 0\]. Найти уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.
Проверить, является ли сократимой дробь \[\frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\].
Имеется дробь \[\frac{2}{7}\]. Каждую секунду к её числителю прибавляется 3, а к знаменателю 10. Существует поверье, что когда дробь станет сократимой, то наступит конец света. Стоит ли бояться наступления конца света?
Окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.
Дан куб \[ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\].
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер \[AB\], \[{B_1}{C_1}\], \[AD\].
б) Найдите угол между плоскостью \[{A_1}BD\] и плоскостью, проходящей через середины рёбер \[AB\], \[{B_1}{C_1}\], \[AD\].
\[{\text{Решите неравенство:}}\] $$\eqalign{ \frac{1}{{{3^x} - 1}} + \frac{{{9^{x + \frac{1}{2}}} - {3^{x + 3}} + 3}}{{{3^x} - 9}} \ge {3^{x + 1}}. } $$
Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020
Долг (в млн рублей) S 0,8S 0,5S 0,1S 0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
$$\eqalign{ {\text{Пусть }}p{\text{ и }}{p^2} + 2{\text{ - простые числа}}{\text{. Докажите}}{\text{, что }}{p^3} + 2{\text{ - также простое число}}{\text{.}} } $$
$$\eqalign{ {\text{Как изменится объём куба}}{\text{, если длину его ребра увеличить на 20% ?}} } $$
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.
Трое одноклассников: Вася, Петя и Федя, ехали в одном поезде, но в разных вагонах. Когда поезд подъезжал к станции, Вася насчитал на перроне 6 фонарей, Петя - 13, а Федя - 17. А когда поезд отъезжал, один из них насчитал ещё три фонаря. Сколько насчитали остальные после остановки?
Круг разбит на 10 секторов. В секторах стоят 10 шашек, по одной в каждом. За один ход разрешается передвинуть 2 шашки, на один сектор каждую (в одинаковых или противоположных направлениях). Можно ли за несколько ходов собрать все шашки в одном секторе?