Математика школьникам и студентам

На Ваш email отправлено письмо со ссылкой для активации аккаунта. Перейдите по этой ссылке для завершения регистрации. Спасибо!
Регистрация успешно завершена. Спасибо!
Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция. Площадь трапеции равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
В городе Октопусе построили метро и в нём 8 станций. При этом из них выходит 4,3,3,3,2,2,2,1 линий метро соответственно (одна линия соединяет ровно две станции). Одну линию закрыли на ремонт. Могло ли оказаться, что теперь карта метро состоит из двух одинаковых независимых кусков?
$$\eqalign{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin x}}{{2\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)}}} \right)^{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} x}} } $$
$$\eqalign{ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\left( {{x^3} + x} \right) \cdot \sin \frac{1}{x} - {{\left( {{x^6} - 5{x^4} + 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right) } $$
$$\eqalign{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{2}}}{{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} 4x}} } $$
$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}x{\text{, для каждого из которых}}\\ {\text{имеет смысл выражение:}}\\ \frac{{4x + 2}}{{\sqrt {10 - {x^2} - 3x} + \sqrt {{x^2} + x - 6} }}. \end{array} } $$
Арбуз разрезали на 4 части и съели. Осталось 5 корок. Как такое может быть, если корок никто не грыз?
$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найти предел}}{\text{, пользуясь формулой Тейлора:}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{x^2} - {x^4}\ln \left( {1 + {x^{ - 2}}} \right)} \right). \hfill \\ \end{array} } $$
В шахматном турнире по круговой системе участвуют семь школьников. Известно, что Ваня сыграл шесть партий, Толя - пять, Лёша и Дима по три, Семён и Илья по две, Женя - одну. С кем сыграл Лёша?
а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.
б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?
в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?
Ученик должен был умножить двузначное число на трёхзначное и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и трёхзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в два раза больше истинного. Найдите все такие наборы из трёх чисел (двузначное, трёхзначное, пятизначное).
$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых неравенство}}\\ 3{x^5} + 11x + 4\left| {x - a + 3} \right| + 2\left| {3x + a - 5} \right| + \sqrt[3]{{4x + 5}} \le 25\\ {\text{выполняется для всех значений }}x \in \left[ { - 4; - 1} \right]. \end{array} } $$
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых для любой пары }}\left( {u,v} \right)\\ {\text{действительных чисел }}u{\text{ и }}v{\text{ выполнено неравенство}}\\ 13\sin u - 7\left| {\sin u + v - 2a} \right| + 3\left| {\sin u - 2v - a - 1} \right| \le 16. \end{array} } $$
$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Решите уравнение:}}\\ {\text{998 + 17}} \cdot \left( {171 - 1862:x} \right) = 2239. \end{array} } $$