Математика школьникам и студентам

На Ваш email отправлено письмо со ссылкой для активации аккаунта. Перейдите по этой ссылке для завершения регистрации. Спасибо!
Регистрация успешно завершена. Спасибо!
$$\eqalign{ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = {\operatorname{tg} ^3}\alpha + {\operatorname{tg} ^2}\alpha + \operatorname{tg} \alpha + 1 \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ {\operatorname{tg} ^2}{36^ \circ } \cdot {\operatorname{tg} ^2}{75^ \circ } \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Решите уравнение:}} \hfill \\ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} 3x = 0 \hfill \\ } $$
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC=8.
$$\eqalign{ {\text{В трапеции }}ABCD{\text{ боковая сторона }}AB{\text{ перпендикулярна основаниям}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Из точки }}A{\text{ на сторону }}CD{\text{ опустили перпендикуляр }}AH.{\text{ На стороне}} \hfill \\ AB{\text{ отмечена точка }}E{\text{ так}}{\text{, что прямые }}CD{\text{ и }}CE{\text{ перпендикулярны}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BH{\text{ и }}ED{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение }}BH{\text{ к }}ED{\text{, если }}\angle BCD = {120^ \circ }. \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{{{{\sin }^2}2\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha - 4}}{{1 - 8{{\sin }^2}\alpha - \cos 4\alpha }} = \frac{1}{2}{\operatorname{ctg} ^4}\alpha . \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Решить уравнение:}} \hfill \\ \sin 2x + 2\operatorname{ctg} x = 3 \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Решите уравнение:}} \hfill \\ 1 - \cos \left( {\frac{x}{2}} \right) = \operatorname{tg} \frac{x}{4} \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Найти все корни уравнения:}} \hfill \\ \frac{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^3}}}{{{x^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {{a^2} - a + 1} \right)}^3}}}{{{a^2}{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}. \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Докажите}}{\text{, что }}{{\text{4}}^k} > {3^k} + {2^k},{\text{ }}k = 2,3,... } $$
$$\eqalign{ {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \hfill \\ (n - 1{\text{ знак корня}}{\text{, }}n \in \mathbb{N}) \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Найдите отношение высот треугольника }}ABC,{\text{ опущенных из}}\\ {\text{вершин }}A{\text{ и }}B{\text{ соответственно}}{\text{, если }}\cos A = \frac{1}{5},{\text{ }}\sin B = \frac{1}{2}. } $$
$$\eqalign{ \left( {{{36,5}^2} - {{27,5}^2}} \right):\left( {\frac{{{{57}^3} + {{33}^3}}}{{90}} - 57 \cdot 33} \right) } $$
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что \[\cos \angle ABC = \frac{1}{6}\]. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?