Математика школьникам и студентам

На Ваш email отправлено письмо со ссылкой для активации аккаунта. Перейдите по этой ссылке для завершения регистрации. Спасибо!
Регистрация успешно завершена. Спасибо!
$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {x + a} \right)\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 3a} \right)\left( {x + 4a} \right) + {a^4} \hfill \\ {\text{есть полный квадрат}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array} } $$
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках \[{С_1}\] и \[{B_1}\] соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \[A{B_1}{C_1}\].
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если \[\angle A = {135^ \circ }\], \[{B_1}{C_1} = 10\] и площадь треугольника \[A{B_1}{C_1}\] в семь раз меньше площади четырёхугольника \[BC{B_1}{C_1}\].
$$\eqalign{ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{97 - x}} = 5 } $$
В треугольнике ABC высоты AK и CM пересекаются в точке H.
1) Докажите, что треугольники ABC и BMK подобны. Найдите коэффициент подобия.
2) Докажите, что четырёхугольники AMKC и MBKH - вписанные.
3) Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABC, ABH, BCH и ACH равны.
Сколько существует различных четырёхзначных натуральных чисел, если, по крайней мере, две цифры в числе совпадают?
Из закрытого ящика случайным образом выпадает один из пяти разных предметов. Монета выпадает в восемь раз чаще колы. Броня выпадает в четыре раза чаще винтовки. Ресурс выпадает в четыре раза реже монеты. Винтовка выпадает в шестьдесят раз реже ресурса.
a. Если ящик открывает один и тот же человек, сколько ресурсов будет у него, когда выпадет броня?
b. Если вероятность выпадения предметов обратно пропорциональна их стоимости, то сколько монет стоит винтовка?
c. Сколько человек из тысячи получит пять монет, открыв первые пять ящиков?
d. Какова вероятность, что из первых ста открытых ящиков не выпадет ни одной винтовки?
e. Если монеты, ресурс и кола могут выпасть только один раз, то сколько нужно открыть ящиков, чтобы получить винтовку?
$$\eqalign{ {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ }}\angle A = \alpha ,{\text{ }}\angle B = \beta ,{\text{ }}AB = a.{\text{ Найдите высоту }}CH. } $$
$$\eqalign{ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }} = \operatorname{tg} 3\alpha \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \frac{{96 \cdot \sin {{80}^ \circ } \cdot \sin {{65}^ \circ } \cdot \sin {{35}^ \circ }}}{{\sin {{20}^ \circ } + \sin {{50}^ \circ } + \sin {{110}^ \circ }}} \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Решите уравнение:}} \hfill \\ 1 - 2\cos 4x + 4\sin 2x\cos x = 0 \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\log _2}3 \cdot {\log _3}4 \cdot {\log _4}5 \cdot ... \cdot {\log _{30}}31 \cdot {\log _{31}}32 } $$
$$\eqalign{ \lg \operatorname{tg} {1^ \circ } + \lg \operatorname{tg} {2^ \circ } + \lg \operatorname{tg} {3^ \circ } + ... + \lg \operatorname{tg} {89^ \circ } } $$
$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{5}\cos \frac{{2\pi }}{5} \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{5} - \cos \frac{{2\pi }}{5}. \hfill \\ } $$
$$\eqalign{ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ 1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x \hfill \\ } $$