Теорема №38

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть дано линейное пространство }}L{\text{ со скалярным произведением }}\left\langle {x,y} \right\rangle . \hfill \\ {\text{Пусть }}\left\| x \right\|{\text{ - норма}}{\text{, порождённая скалярным произведением}}{\text{, т}}{\text{.е}}{\text{. }}\left\| x \right\| = \sqrt {\left\langle {x,x} \right\rangle } . \hfill \\ {\text{Тогда }}\forall x,y \in L \hfill \\ \left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right| \leqslant \left\| x \right\| \cdot \left\| y \right\|{\text{,}} \hfill \\ {\text{причём равенство достигается тогда и только тогда}}{\text{, когда векторы }}x{\text{ и }}y \hfill \\ {\text{коллинеарны}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
\[{\left( {{a_1}{b_1} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + ... + b_n^2} \right)\]
1663.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c,d > 0,{\text{ }}a + b + c + d = 4. \hfill \\ {\text{Докажите неравенство:}} \hfill \\ \frac{{ab}}{{{c^2}\left( {d + 1} \right)}} + \frac{{bc}}{{{d^2}\left( {a + 1} \right)}} + \frac{{cd}}{{{a^2}\left( {b + 1} \right)}} + \frac{{da}}{{{b^2}\left( {c + 1} \right)}} \geqslant 2. \hfill \\ \end{array}\]
комментарии