В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если \[\angle ABC = {30^ \circ }\].

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 3 и делится на 12.

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Баржа в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 30 км от A. Пробыв в пункте B 4 часа, баржа отправилась назад и вернулась в пункт A в 22:00 того же дня. Определите в км/ч скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 8 км/ч.

$$\eqalign{ \frac{{a - 1}}{{{a^2}}} \cdot \frac{{ax - a}}{{a - 1}} + \frac{{1 - x}}{{2a}} } $$

Расставьте в вершинах и серединах сторон квадрата числа 1,2,3,4,5,6,7,8 так, чтобы сумма трех чисел, стоящих на каждой из сторон, была одна и та же.

Дед Пантелей решил наколоть дров. С маленького чурбана у него получалось 5 поленьев, со среднего - 9, а с большого - 13. Всего у деда был 321 чурбан. Могло ли получиться 2015 поленьев, когда он их все расколол?

Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов, большее 5.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.

Докажите, что четвёртая степень целого числа при делении на 5 даёт в остатке 0 или 1.

Из точки A к окружности проведены касательная AM (M - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L (AK = AL + LK), такая, что треугольник AMK остроугольный. Расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности.
а) Докажите, что угол AMK равен \[{60^ \circ }\].
б) Найдите площадь треугольника AMK, если L - середина AK и радиус окружности равен 2.

\[\begin{array}{l} {\text{Катя и четыре её подружки разделили между собой несколько конфет}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{В результате оказалось}}{\text{, что у всех девочек разное число конфет}}{\text{, а}} \hfill \\ {\text{общее число конфет у любых трёх девочек больше}}{\text{, чем общее число}} \hfill \\ {\text{конфет у остальных двух}}{\text{. Какое самое маленькое число конфет может}} \hfill \\ {\text{быть у Кати?}} \hfill \\ \left( {\text{А}} \right)1{\text{ }}\left( {\text{B}} \right)2{\text{ }}\left( {\text{C}} \right)4{\text{ }}\left( {\text{D}} \right)5{\text{ }}\left( {\text{E}} \right)7 \hfill \\ \end{array}\]

Рыбак выловил 5 рыб (A, B, C, D, E), каждая из которых имеет разный вес:
- A весит в два раза больше чем B;
- B весит в четыре с половиной раза больше чем C;
- C весит вдвое меньше чем D;
- D весит вдвое меньше чем E;
- E весит меньше A, но больше C.
Определите самую лёгкую рыбу.

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C - вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N - точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC = 1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.