\[{\text{Докажите неравенство: }}{a^4} + {b^4} + 2{c^2} \geqslant 4abc.\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Воспользуемся известным неравенством }}\frac{{x + y}}{2} \geqslant \sqrt {xy} . \hfill \\
{a^4} + {b^4} \geqslant 2\sqrt {{a^4}{b^4}} = 2{a^2}{b^2} \hfill \\
{\text{Значит}} \hfill \\
{a^4} + {b^4} + 2{c^2} \geqslant 2{a^2}{b^2} + 2{c^2} = \hfill \\
2\left( {{a^2}{b^2} + {c^2}} \right) \geqslant 2 \cdot 2\sqrt {{a^2}{b^2} \cdot {c^2}} = 4abc. \hfill \\
\end{array}\]
