\[\begin{array}{l}
{\text{Четырёхугольник }}ABCD{\text{ вписан в окружность радиуса }}R = 8.{\text{ Известно}}{\text{, что}} \hfill \\
AB = BC = CD = 12. \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BC{\text{ и }}AD{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б) Найдите }}AD. \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{а) }}\angle ADB = \angle DBC{\text{, т}}{\text{.к}}{\text{. это вписанные углы}}{\text{, опирающиеся}} \hfill \\
{\text{на равные хорды }}AB{\text{ и }}CD.{\text{ Эти углы являются накрест}} \hfill \\
{\text{лежащими для прямых }}AD{\text{ и }}BC,{\text{ значит }}AD\parallel BC. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \alpha . \hfill \\
{\text{По теореме косинусов для треугольника }}AOB{\text{ находим}}{\text{, что}} \hfill \\
\cos \alpha = - \frac{1}{8} \Rightarrow \alpha = \pi - \arccos \frac{1}{8} \hfill \\
\angle AOD = 2\pi - 3\alpha = 3\arccos \frac{1}{8} - \pi \hfill \\
\cos \left( {3\arccos \frac{1}{8} - \pi } \right) = - \cos \left( {3\arccos \frac{1}{8}} \right) = \hfill \\
- \left( {4{{\cos }^3}\arccos \frac{1}{8} - 3\cos \arccos \frac{1}{8}} \right) = - 4 \cdot \frac{1}{{{8^3}}} + \frac{3}{8} = \frac{{47}}{{128}}. \hfill \\
AD{\text{ находим по теореме косинусов для треугольника }}AOD. \hfill \\
A{D^2} = {8^2} + {8^2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{{47}}{{128}} \Leftrightarrow AD = 9. \hfill \\
\end{array}\]
\[AD = 9\]