\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}a,b,c,d > 0. \hfill \\
{\text{Докажите неравенство:}} \hfill \\
\frac{{{a^{10}} + {b^{10}} + {c^{10}} + {d^{10}}}}{{{a^9} + {b^9} + {c^9} + {d^9}}} \geqslant \frac{{{a^8} + {b^8} + {c^8} + {d^8}}}{{{a^7} + {b^7} + {c^7} + {d^7}}}. \hfill \\
\end{array}\]
Теорема
§
\[{\text{Весовое неравенство Чебышёва для сумм}}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Если }}{a_1} \leqslant {a_2} \leqslant ... \leqslant {a_n},{\text{ }}{b_1} \geqslant {b_2} \geqslant ... \geqslant {b_n}{\text{ > 0}}{\text{, }}{\mu _1} + {\mu _2} + ... + {\mu _n} = 1,{\text{ }}{\mu _k} > 0,{\text{ то}} \hfill \\
\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}} } \right) \cdot \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{b_k}} } \right) \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}{b_k}} . \hfill \\
{\text{Если }}0 < {a_1} \leqslant {a_2} \leqslant ... \leqslant {a_n},{\text{ }}0 < {b_1} \leqslant {b_2} \leqslant ... \leqslant {b_n}{\text{, }}{\mu _1} + {\mu _2} + ... + {\mu _n} = 1,{\text{ }}{\mu _k} > 0,{\text{ то}} \hfill \\
\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}} } \right) \cdot \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{b_k}} } \right) \leqslant \sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}{b_k}} {\text{,}} \hfill \\
{\text{причём равенство имеет место лишь в том случае}}{\text{, когда }}{a_1} = ... = {a_n},{b_1} = ... = {b_n}. \hfill \\
\end{array}\]