\[\begin{array}{l}
{\text{Числа }}x,y{\text{ и }}z{\text{ положительны}}{\text{, а их произведение равно 1}}{\text{. Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\
\sqrt {x + 3y + 5z} + \sqrt {y + 3z + 5x} + \sqrt {z + 3x + 5y} \geqslant 9. \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Применим к числу }}x + 3y + 5z{\text{ неравенство о среднем арифметическом}} \hfill \\
{\text{и среднем геометрическом для 9 чисел: одного числа }}x{\text{, трёх чисел }}y{\text{ и}} \hfill \\
{\text{пяти чисел }}z.{\text{ Получим }}x + 3y + 5z \geqslant 9\sqrt[9]{{x{y^3}{z^5}}}.{\text{ Аналогичные неравенства}} \hfill \\
{\text{применим и к остальным подкоренным выражениям}}{\text{. Таким образом}}{\text{,}} \hfill \\
\sqrt {x + 3y + 5z} + \sqrt {y + 3z + 5x} + \sqrt {z + 3x + 5y} \geqslant 3\left( {\sqrt[{18}]{{x{y^3}{z^5}}} + \sqrt[{18}]{{y{z^3}{x^5}}} + \sqrt[{18}]{{z{x^3}{y^5}}}} \right). \hfill \\
{\text{Снова применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем}} \hfill \\
{\text{геометрическом}}{\text{, на этот раз для трёх корней 18 степени}}{\text{, получаем}} \hfill \\
\geqslant 3\left( {\sqrt[{18}]{{x{y^3}{z^5}}} + \sqrt[{18}]{{y{z^3}{x^5}}} + \sqrt[{18}]{{z{x^3}{y^5}}}} \right) \geqslant 9\sqrt[{54}]{{{x^9}{y^9}{z^9}}} = 9. \hfill \\
\end{array}\]