\[\begin{array}{l} \left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt {1 - {x^4}} = {x^3}. \hfill \\ 0 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \\ {x^8} - {x^6} + 2{x^2} - 1 = 0 \hfill \\ {x^2} = t,t \geqslant 0 \hfill \\ {t^4} - {t^3} + 2t - 1 = 0 \hfill \\ t = y + 1 \hfill \\ {y^4} + 3{y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 = 0{\text{ - возвратное уравнение}} \hfill \\ {y^2} + 3y + 3 + \frac{3}{y} + \frac{1}{{{y^2}}} = 0 \Leftrightarrow {y^2} + \frac{1}{{{y^2}}} + 3 \cdot \left( {y + \frac{1}{y}} \right) + 3 = 0 \hfill \\ y + \frac{1}{y} = s \Rightarrow {s^2} + 3s + 1 = 0 \Leftrightarrow s = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}. \hfill \\ s = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y + \frac{1}{y} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow y \in \left\{ \emptyset \right\} \hfill \\ s = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y = - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} \pm \frac{{\sqrt { - 2 + 6\sqrt 5 } }}{4} \hfill \\ t \geqslant 0 \Rightarrow y = - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + \frac{{\sqrt { - 2 + 6\sqrt 5 } }}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\sqrt {1 - \sqrt 5 + \sqrt { - 2 + 6\sqrt 5 } } . \hfill \\ \hfill \\ {\text{P}}{\text{.S}}{\text{. Если решать возвратное уравнение с более сложной заменой}} \hfill \\ y = \frac{{s - 1}}{{s + 1}}{\text{, то получим}}{\text{, что }}x = \frac{2}{{\sqrt {2 + 2\sqrt {3 + 2\sqrt 5 } } }}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\frac{1}{2}\sqrt {1 - \sqrt 5 + \sqrt { - 2 + 6\sqrt 5 } } \]