\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}2\cos \frac{{2\pi }}{9}{\text{ является корнем уравнения }}{x^3} - 3x + 1 = 0.\]
\[\begin{array}{l}
2\cos \frac{{2\pi }}{9} = {e^{\frac{{2\pi }}{9}i}} + {e^{ - \frac{{2\pi }}{9}i}} = w + {w^{ - 1}} \hfill \\
f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1 \hfill \\
f\left( {w + {w^{ - 1}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {w^3} + {w^{ - 3}} = - 1 \Leftrightarrow \hfill \\
{e^{\frac{{2\pi }}{3}i}} + {e^{ - \frac{{2\pi }}{3}i}} = - 1 \Leftrightarrow 2\cos \frac{{2\pi }}{3} = - 1{\text{ - верно}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]