\[\begin{array}{l} {\text{Числа }}\operatorname{tg} \frac{\pi }{9},{\text{ }}\operatorname{tg} \frac{{2\pi }}{9}{\text{ и }}\operatorname{tg} \frac{{4\pi }}{9}{\text{ являются корнями многочлена }}{x^6} - 33{x^4} + 27{x^2} - 3 \Rightarrow \hfill \\ {\operatorname{tg} ^2}\frac{\pi }{9},{\text{ }}{\operatorname{tg} ^2}\frac{{2\pi }}{9}{\text{ и }}{\operatorname{tg} ^2}\frac{{4\pi }}{9}{\text{ - корни многочлена }}{x^3} - 33{x^2} + 27x - 3 \Rightarrow \hfill \\ \frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^2}\frac{\pi }{9}}} = a,\frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^2}\frac{{2\pi }}{9}}} = b,\frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^2}\frac{{4\pi }}{9}}} = c{\text{ - корни многочлена }}3{x^3} - 27{x^2} + 33x - 1 \hfill \\ {\text{Тогда по теореме Виета }}a + b + c = \frac{{27}}{3} = 9{\text{ и }}ab + ac + bc = \frac{{33}}{3} = 11. \hfill \\ {\text{Тогда }}\frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^4}\frac{\pi }{9}}} + \frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^4}\frac{{2\pi }}{9}}} + \frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^4}\frac{{4\pi }}{9}}} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2 \cdot \left( {ab + ac + bc} \right) = {9^2} - 2 \cdot 11 = 59. \hfill \\ \end{array} \]