\[\begin{array}{l} {\text{Индукция}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Убеждаемся}}{\text{, что неравенство верно для двух чисел}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{т}}{\text{.е}}{\text{. }}\left| {a + b} \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|. \hfill \\ {\text{Индукционное предположение:}} \hfill \\ \left| {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right| \leqslant \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + ... + \left| {{x_n}} \right|. \hfill \\ {\text{Индукционный переход}}{\text{.}} \hfill \\ \left| {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} + {x_{n + 1}}} \right| = \left| {\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right) + {x_{n + 1}}} \right| \leqslant \hfill \\ \left| {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right| + \left| {{x_{n + 1}}} \right| \leqslant \left\{ \begin{array}{l} {\text{здесь мы пользуемся}} \hfill \\ {\text{индукционным}} \hfill \\ {\text{предположением}} \hfill \\ \end{array} \right\} \leqslant \hfill \\ \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + ... + \left| {{x_n}} \right| + \left| {{x_{n + 1}}} \right|. \hfill \\ \end{array}\]