\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {5 \cdot {2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}} \right) \vdots 19.\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Индукция}} \hfill \\
{\text{БИ}} \hfill \\
n = 1 \hfill \\
5 \cdot 2 + {3^2} = 19 \vdots 19 \hfill \\
{\text{ИП}} \hfill \\
5 \cdot {2^{3\left( {n + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {n + 1} \right) - 1}} = 5 \cdot {2^{3n - 2}} \cdot {2^3} + {3^{3n - 1}} \cdot {3^3} = \hfill \\
5 \cdot {2^{3n - 2}} \cdot 8 + {3^{3n - 1}} \cdot 27 = 5 \cdot {2^{3n - 2}} \cdot 8 + {3^{3n - 1}} \cdot \left( {19 + 8} \right) = \hfill \\
5 \cdot {2^{3n - 2}} \cdot 8 + {3^{3n - 1}} \cdot 19 + {3^{3n - 1}} \cdot 8 = \left( {5 \cdot {2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}} \right) \cdot 8 + {3^{3n - 1}} \cdot 19. \hfill \\
\end{array}\]