\[{\text{Рациональным или иррациональным является число }}\sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}?\]

\[\begin{array}{l} \left[ {{\text{Рамануджан}}} \right] \hfill \\ \sqrt[3]{{\sqrt[3]{2} - 1}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}} - \sqrt[3]{{\frac{2}{9}}} + \sqrt[3]{{\frac{4}{9}}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{6}}} + \sqrt[4]{{\frac{1}{8}}}}} + \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{6}}} - \sqrt[4]{{\frac{1}{8}}}}} = \sqrt[{16}]{{378 + 216\sqrt 3 }}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{9}}} + \sqrt[4]{{\frac{1}{{12}}}}}} + \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{9}}} - \sqrt[4]{{\frac{1}{{12}}}}}} = \sqrt[4]{{3 + \sqrt 3 }}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt[4]{4} + \sqrt[4]{3}}} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[8]{{72 + 36\sqrt 3 }} + \sqrt[8]{{104 - 60\sqrt 3 }}} \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\sqrt[4]{{\frac{{24}}{{\sqrt[3]{3} + 5}} - 3}} + \frac{2}{3}\sqrt {1 - \frac{6}{{\sqrt[3]{3} + 5}}} = \sqrt {\frac{2}{{5 \cdot \left( {5\sqrt[3]{3} - 7} \right)}} - \frac{{31}}{{45}}} \]