Малая теорема Ферма
\[{\text{Докажите}}{\text{, что если }}{x^{{2^k}}} + 1 \equiv 0\left( {\bmod p} \right){\text{, то }}p \equiv 1\left( {\bmod {2^{k + 1}}} \right).\]
\[{\text{Пусть }}p{\text{ и }}q{\text{ - простые числа}}{\text{. Докажите}}{\text{, что }}{p^{q - 1}} + {q^{p - 1}} - 1{\text{ делится на }}p \cdot q.\]
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - нечётное простое число}}{\text{. Докажите}}{\text{, что простые делители}} \hfill \\ {\text{чисел }}\frac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}}{\text{ и }}\frac{{{a^p} + 1}}{{a + 1}}{\text{ сравнимы с единицей по модулю }}p. \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - нечётное простое и }}f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{\frac{{p - 1}}{2}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} p \\ {2k} \end{array}} \right){x^{2k}}} {\text{,}} \hfill \\ q{\text{ - нечётный простой делитель числа }}f\left( n \right),{\text{ }}n \in \mathbb{N}. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}q \equiv 1\bmod p. \hfill \\ \end{array}\]