tag:
куб
\[{\text{Площадь поверхности куба 54 с}}{{\text{м}}^2}.{\text{ Найдите диагональ куба}}{\text{.}}\]
$$\eqalign{ {\text{Как изменится объём куба}}{\text{, если длину его ребра увеличить на 20% ?}} } $$
Дан куб \[ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\].
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер \[AB\], \[{B_1}{C_1}\], \[AD\].
б) Найдите угол между плоскостью \[{A_1}BD\] и плоскостью, проходящей через середины рёбер \[AB\], \[{B_1}{C_1}\], \[AD\].
Можно ли расположить числа от 1 до 20 в вершинах и на рёбрах куба так, чтобы число на ребре было средним арифметическим двух вершин, которые оно соединяет?
\[\begin{array}{l} {\text{Дан куб }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{, введена система координат так}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{что }}A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),{A_1}\left( {0;0;1} \right). \hfill \\ H{\text{ - середина }}D{D_1},{\text{ }}K{\text{ - середина }}AH. \hfill \\ {\text{а) Найдите координаты точки }}K; \hfill \\ {\text{б) Найдите координаты векторов }}\overrightarrow {KB} ,\overrightarrow {K{D_1}} ; \hfill \\ {\text{в) Определите координаты какого - либо вектора }}\overrightarrow n \hfill \\ {\text{такого}}{\text{, что }}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {KB} {\text{ и }}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {K{D_1}} ; \hfill \\ {\text{г) Напишите уравнение плоскости }}KB{D_1}; \hfill \\ {\text{д) Найдите расстояние от точки }}{B_1}{\text{ до плоскости }}KB{D_1}; \hfill \\ {\text{е) Докажите}}{\text{, что }}O \in \left( {KB{D_1}} \right). \hfill \\ \end{array} \]
На окраску деревянного куба ушло 10 грамм краски. Когда она высохла, куб распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?
\[\begin{array}{l} {\text{Точки }}P{\text{ и }}Q{\text{ - середины рёбер }}AD{\text{ и }}C{C_1}{\text{ куба }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{ соответственно}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}BQ{\text{ перпендикулярна прямой }}{B_1}P. \hfill \\ {\text{б) Пусть }}H{\text{ - проекция точки }}Q{\text{ на прямую }}{B_1}P.{\text{ Найдите }}{B_1}H{\text{, если }}AB = 24. \hfill \\ \end{array}\]
В единичном кубе выбраны вершины и центры всех граней. Соединить эти точки сетью дорог, идущих по поверхности куба, так, чтобы суммарная длина дорог была меньше, чем 8,44.
Объём прямоугольного параллелепипеда. Объём куба.
\[\begin{array}{l} {\text{Построить сечение куба }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{ плоскостью }}MNK{\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}M{\text{ - середина }}AB,{\text{ }}N{\text{ - середина }}{B_1}{C_1},{\text{ }}K{\text{ - середина }}AD. \hfill \\ \end{array} \]