tag:
sum_of_series
§
\[\begin{array}{l} \sinh x = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{x^{2k + 1}}}}{{\left( {2k + 1} \right)!}}} \hfill \\ \cosh x = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{x^{2k}}}}{{\left( {2k} \right)!}}} \hfill \\ \end{array}\]
§

Формула Рамануджана для числа \[\pi \]

\[\frac{{2\sqrt 2 }}{{9801}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\left( {4n} \right)!\left( {1103 + 26390n} \right)}}{{{{\left( {n!} \right)}^4}{{396}^{4n}}}}} = \frac{1}{\pi }.\]
§

[Рамануджан]



\[1 + \frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{2}{{1 + \frac{3}{{1 + \frac{4}{{1 + ...}}}}}}}}}} = \sqrt {\frac{{\pi \cdot e}}{2}} .\]



Примечание

\[\begin{array}{l} S = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)!!}}} = \sqrt {\frac{{\pi \cdot e}}{2}} \cdot \left( {1 - \operatorname{erfc} \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \right) \hfill \\ F = \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{2}{{1 + \frac{3}{{1 + ...}}}}}}}} = \sqrt {\frac{{\pi \cdot e}}{2}} \cdot \operatorname{erfc} \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \hfill \\ \operatorname{erfc} x = 1 - \operatorname{erf} x \hfill \\ \operatorname{erf} x = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \hfill \\ \end{array}\]
\[{\text{Найти сумму ряда }}\] $%\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} .$%
Дан квадрат со стороной 1. На каждой из его четырёх сторон по центру размещен квадрат со стороной 1/3 (см. рис.). На сторонах этих квадратов размещены квадраты со стороной 1/9, и т.д. до бесконечности. Найдите периметр и площадь фигуры, являющейся объединением всех этих квадратов.

Спираль состоит из отрезков, как показано на рисунке. Длина n-го отрезка равна 1/n, угол между смежными звеньями равен 120 градусов. Спираль сходится к некоторой точке P. Найдите координаты этой точки.

\[{\text{Найдите сумму ряда }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^6}}}} .\]
\[{\text{Вычислите }}\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}dx} .\]
\[\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{{\left( {k \cdot \left( {k + 1} \right)} \right)}^3}}}} = 10 - {\pi ^2}.\]
\[\int\limits_0^1 {{x^{ - x}}dx} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{k^{ - k}}} \]
\[{\text{Найдите сумму ряда: }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{\sin k}}{k}} .\]
\[{\text{Найдите суммы }}{I_1} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{\sin k}}{{k!}}} {\text{ и }}{I_2} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{\cos k}}{{k!}}} .\]
\[{\text{Find the sum of the series }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\arctan \frac{1}{{{k^2} + k + 1}}} .\]
$$\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{\pi ^2}{k^2} + 1}}} $$
$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{{\left( {2k + 1} \right)}^3}}}} = \frac{{{\pi ^3}}}{{32}}$$
$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{2i - 1}}{{2i}}} } \right)}^2}} = \frac{1}{{2\pi }}{\rm B}\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{4}} \right) = \frac{{\sqrt {2\pi } }}{{2\Gamma {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}}.$$
$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\dfrac{{{x^{k + 1}}}}{{k{!^s}}}} = x + \dfrac{{{x^2} + \dfrac{{{x^3} + \dfrac{{{x^4} + \dfrac{{{x^5} + ...}}{{{4^s}}}}}{{{3^s}}}}}{{{2^s}}}}}{{{1^s}}},{\text{ }}s > 0$$
$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{\cosh \left( {\pi k} \right)}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\rm B}\left( {\frac{3}{4},\frac{3}{4}} \right)}}.$$ $$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{\cosh \left( {\pi k} \right)}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\rm B}\left( {\frac{1}{2},\frac{3}{4}} \right)}}.$$