tag:
биномиальные_коэффициенты
26
Теорема
§

Теорема Люка

\[\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m \\ n \end{array}} \right) \equiv \prod\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_i}} \\ {{n_i}} \end{array}} \right){\text{ }}\left( {\bmod {\text{ }}p} \right)} {\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}m = {\left( {{m_{k - 1}},...,{m_0}} \right)_p}{\text{ и }}n = {\left( {{n_{k - 1}},...,{n_0}} \right)_p}{\text{ - представления чисел }}m{\text{ и }}n \hfill \\ {\text{в }}p{\text{ - ичной системе счисления}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
52
Теорема
§
\[{\text{При }}k \geqslant 4,{\text{ }}l \geqslant 2{\text{ уравнение }}C_n^k = {m^l}{\text{ не имеет решений в целых числах}}{\text{.}}\]
25
§
\[C_n^k = \frac{n}{k}C_{n - 1}^{k - 1}\]
32
§
\[C_p^k{\text{ делится на }}p.\]
38
§
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1} \\ k \end{array}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {k - i} \end{array}} \right)} \]
49
\[{\text{Число }}C_n^3{\text{ является квадратом}}{\text{, только при }}n = 3,{\text{ }}4,{\text{ }}50.\]
258.
\[{\text{Решите уравнение:}}\] $%A_x^3 - 2C_x^4 = 3A_x^2$%
264.
\[{\text{Решите уравнение:}}\] $%\frac{x}{{A_x^3}} = \frac{1}{{12}}$%
335.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k{3^{n - k}}} = {2^n}.\]
399.
\[{\text{Решите уравнение:}}\] $%11C_{2x}^x = 6C_{2x + 1}^{x + 1}$%
882.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}C_{2n}^n \vdots n + 1.\]
1308.
1311.
\[\begin{array}{l} {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k! - 2} \\ k \end{array}} \right){\text{ делится на }}k + 1. \hfill \\ {\text{б) Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{k^{2m}}} \\ k \end{array}} \right){\text{ делится на }}k + 1. \hfill \\ \end{array}\]
1312.
\[{\text{Найдите сумму }}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( {C_n^k} \right)}^2}} .\]
1314.
\[{\text{Доказать}}{\text{, что число }}C_{{k^{2m}}}^k{\text{ чётно}}{\text{.}}\]
1356.
\[{\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{. Доказать}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {p - 1} \\ k \end{array}} \right) \equiv {\left( { - 1} \right)^k}{\text{ }}\left( {\bmod p} \right).\]
1682.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - нечётное простое и }}f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{\frac{{p - 1}}{2}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} p \\ {2k} \end{array}} \right){x^{2k}}} {\text{,}} \hfill \\ q{\text{ - нечётный простой делитель числа }}f\left( n \right),{\text{ }}n \in \mathbb{N}. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}q \equiv 1\bmod p. \hfill \\ \end{array}\]
1717.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {2n} \right)!}}{{{{\left( {k!} \right)}^2}{{\left( {\left( {n - k} \right)!} \right)}^2}}}} = {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}. \hfill \\ \end{array}\]
1791.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p \geqslant 5{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p^2}} \\ p \end{array}} \right) - p{\text{ делится на }}{p^5}. \hfill \\ \end{array}\]