tag:
integers
Теорема
§
Соотношение Безу
\[\begin{array}{l}
{\text{Если числа }}a,b{\text{ взаимно простые}}{\text{, то уравнение }}ax + by = 1 \hfill \\
{\text{имеет целочисленные решения}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
Теорема
§
\[\begin{array}{l}
{\text{Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{когда в его каноническом разложении все простые множители вида }}4n + 3{\text{ входят в}} \hfill \\
{\text{чётных степенях}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]§
Тождество Брахмагупты
\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac - bd} \right)^2} + {\left( {ad + bc} \right)^2} = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\]
§
\[\begin{array}{l}
{\text{Функция Эйлера }}\varphi \left( n \right){\text{ - мультипликативная арифметическая функция}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{равная количеству натуральных чисел}}{\text{, меньших }}n{\text{ и взаимно простых}} \hfill \\
{\text{с ним}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]§
\[\begin{array}{l}
{\text{Если }}n{\text{ нечётно}}{\text{, то}} \hfill \\
{x^n} - {y^n} = \left( {x - y} \right) \cdot \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}y + ... + {y^{n - 1}}} \right) \hfill \\
{x^n} + {y^n} = \left( {x + y} \right) \cdot \left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}y + {x^{n - 3}}{y^2} - ... + {y^{n - 1}}} \right) \hfill \\
\end{array}\]
§
Асимптотика полупростых чисел
8.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найдите наименьшее шестизначное число}}{\text{, кратное 75}}{\text{, произведение цифр}}\\
{\text{которого больше 30}}{\text{, но меньше 60}}{\text{.}}
\end{array}\]
20.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найдите последнюю цифру числа:}}\\
{\text{а) }}{3^{100}};{\text{ б) 201}}{{\text{2}}^{2015}} + {2013^{2014}}.
\end{array}\]
38.
\[\begin{array}{l}
{\text{Четырёхзначное число делится на 7 и 19}}{\text{. После умножения}}\\
{\text{его на 29 и деления на 41 получили остаток 39}}{\text{. Найдите это}}\\
{\text{число}}{\text{.}}
\end{array}\]
44.
\[{\text{Найдите НОД и НОК чисел 255 и 510}}{\text{.}}\]
60.
\[\begin{array}{l}{\text{Для скольких натуральных чисел }}n{\text{ от 3000 до 4000 число}}\\\overline {nn} {\text{ является квадратом некоторого натурального числа?}}\end{array}\]
206.
\[\begin{array}{l}{\text{Набор}}{\text{, состоящий из целых чисел }}a,b,c{\text{, заменили на набор}}\\a - 1,{\text{ }}b + 1,{\text{ }}{c^2}.{\text{ В результате получились те же числа }}a,b,c{\text{, но}}\\{\text{в другом порядке}}{\text{. Найдите числа }}a,b,c{\text{, если известно}}{\text{, что}}\\{\text{их сумма равна 1001}}{\text{.}}\end{array}\]
294.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}a{\text{ и }}b{\text{ - целые числа и число }}5a + 3b{\text{ делится на 19}}{\text{.}}\\
{\text{Докажите}}{\text{, что тогда }}a - 7b{\text{ также делится на 19}}{\text{.}}
\end{array}\]
575.
$$\eqalign{
{\text{Пусть }}p{\text{ и }}{p^2} + 2{\text{ - простые числа}}{\text{. Докажите}}{\text{, что }}{p^3} + 2{\text{ - также простое число}}{\text{.}}
} $$
629.
В Стране дураков ходят монеты в 1, 2, 3, ..., 19, 20 сольдо (других нет). У Буратино была одна монета. Он купил мороженое и получил одну монету сдачи. Снова купил такое же мороженое и получил сдачу тремя монетами разного достоинства. Буратино хотел купить третье такое же мороженое, но денег не хватило. Сколько стоит мороженое?
637.
\[{\text{На сколько нулей оканчивается произведение 1}} \cdot {\text{2}} \cdot {\text{3}} \cdot ... \cdot 53?\]
643.
В забеге участвовало 37 человек. Число спортсменов, прибежавших раньше Игоря, в 5 раз меньше числа тех, кто прибежал позже. Какое место занял Игорь?
649.
В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?
650.
В каждом вагоне поезда одинаковое количество мест (больше 1). Количество мест в вагоне больше, чем количество вагонов в поезде. Сколько в поезде вагонов и сколько мест в каждом вагоне, если всего в поезде 583 места?
661.
Поставь вместо звёздочек цифры так, чтобы получился верный пример.
676.
\[\begin{array}{l}
{\text{Используя формулу }}{1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left( {1 + 2 + ... + n} \right)^2}{\text{,}} \hfill \\
{\text{вычислите }}{1^3} + {2^3} + ... + {30^3}. \hfill \\
\end{array} \]
679.
$$\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что число 2}}\underbrace {{\text{00}}...{\text{00}}}_{n{\text{ нулей}}}2{\text{ не является}} \hfill \\
{\text{квадратом ни при каком }}n. \hfill \\
\end{array} $$
680.
Поймали три поросенка 32 пескаря и стали варить уху. Ниф-Ниф отдал для ухи четыре рыбки, Наф-Наф – семь, Нуф-Нуф – двенадцать рыб. После этого у них осталось поровну рыб. Сколько пескарей поймали каждый из поросят?
689.
Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся на 3? На 5? На 15? Не делятся ни на 3, ни на 5?
692.
Докажите, что из любых 12 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.
694.
Сидя у окна вагона поезда мальчик стал считать телеграфные столбы. Он
насчитал 10 столбов. Какое расстояние прошёл за это время поезд, если расстояние
между столбами 50 м?
701.
Известно, что: А — 1 = В + 2 = С — 3 = Д + 4 = Е — 5. Какое из чисел, обозначенных буквами, самое маленькое?
702.
Сколько получится, если сложить наибольшее нечетное двузначное число и наименьшее четное трехзначное число?
703.
В числе 5236845 зачеркни 3 цифры так, чтобы полученное число было: а) наименьшим; б) наибольшим.
715.
Натуральные числа от 1 до 9 разбили на три группы. Докажите, что найдётся группа, произведение чисел которой не менее 72.
729.
Нескольким детям раздали вишни, каждый получил одинаковое количество ягод. Сколько вишен получил каждый ребёнок, если известно, что всего было 56 ягод, а детей было нечётное количество?
730.
Дан прямоугольник, длины сторон которого a и b. Известно, что a - нечётное число, большее 1, а b - чётное число. Площадь прямоугольника равна 152. Найдите периметр данного прямоугольника.
771.
Можно ли расположить числа от 1 до 20 в вершинах и на рёбрах куба так, чтобы число на ребре было средним арифметическим двух вершин, которые оно соединяет?
838.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что если число }}a + \frac{1}{a}{\text{ - целое}}{\text{, то и число }}{a^n} + \frac{1}{{{a^n}}}{\text{ целое }}\forall n \in \mathbb{N}.\]
882.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}C_{2n}^n \vdots n + 1.\]
889.
Существует ли трёхзначное число, равное произведению своих цифр?
890.
На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?
891.
В доме, который был заселён только супружескими парами с детьми, проводилась перепись населения. Человек, проводивший перепись, в отчёте указал: «Взрослых в доме больше, чем детей. У каждого мальчика есть сестра. Мальчиков больше, чем девочек. Бездетных семей нет». Этот отчёт был неверен. Почему?
923.
Ковбой решил купить патроны для револьвера. Оказалось, что 10 патронов стоят больше 11 долларов, а 9 патронов стоят меньше 10 долларов. Сколько центов стоит один патрон?
924.
Ваня купил 4 книги для подготовки к олимпиаде по математике. Все книги, кроме первой, стоили в сумме 348 руб., без второй - 296 руб., без третьей - 292 руб., а без четвёртой - 288 руб. Сколько стоит каждая книга?
936.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что при чётном }}n{\text{ число }}\frac{{1!2!3! \cdot ... \cdot \left( {2n} \right)!}}{{n!}}{\text{ - квадрат}}{\text{.}}\]
1076.
Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася?
1271.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что:}} \hfill \\
{\text{а) НОД}}\left( {kx,ky} \right) = k \cdot {\text{НОД}}\left( {x,y} \right); \hfill \\
{\text{б) НОК}}\left( {kx,ky} \right) = k \cdot {\text{НОК}}\left( {x,y} \right). \hfill \\
\end{array}\]
1360.
\[\begin{array}{l}
{\text{Доказать}}{\text{, что при любом }}k \in \mathbb{N}{\text{ число }}k! + 616{\text{ не является}} \hfill \\
{\text{точной степенью выше первой целого числа}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
1382.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}\frac{{{a_1} \cdot {a_2} \cdot {a_3} \cdot {a_4} \cdot {a_5}}}{{{a_6} \cdot {a_7} \cdot {a_8} \cdot {a_9} \cdot {a_{10}}}} = k{\text{, где }}{a_i}{\text{ - различные целые числа от 1 до 10}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{при этом }}k{\text{ - целое число}}{\text{. Каково минимальное возможное значение }}k{\text{?}} \hfill \\
\end{array}\]
1882.
\[\begin{array}{l}
a,b,c \in \mathbb{N},{\text{ }}c < b < a \leqslant 100 \hfill \\
{\text{Найдите }}a,{\text{ }}b{\text{ и }}c{\text{ при которых выражение}} \hfill \\
\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{a - b}} \hfill \\
{\text{принимает наименьшее значение}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
1885.
Какое наибольшее количество натуральных чисел, каждое из которых является произведением ровно 4 простых (не обязательно различных), может идти подряд?
2017.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {{\text{3}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{15n + 1}} + 1} \right) \vdots 31,{\text{ }}n \in \mathbb{N}.\]
2076.
\[{\text{Find number }}a > 1,{\text{ if numbers 1010 and 1069 produce equal remainders when divided by }}a.\]
maple: Функция ifactor(n)
