\[\begin{array}{l} {\text{Внутри прямоугольного треугольника }}ABC{\text{ расположено}}\\ {\text{три квадрата}}{\text{, как на рисунке}}{\text{. Сторона самого маленького}}\\ {\text{квадрата равна 1}}{\text{, а }}AB = 8.{\text{ Найдите сторону самого большого}}\\ {\text{квадрата}}{\text{.}} \end{array}\]

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках \[{C_1}\] и \[{B_1}\] соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \[A{B_1}{C_1}\].
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если \[\angle A = {135^ \circ }\], \[{B_1}{C_1} = 10\] и площадь треугольника \[A{B_1}{C_1}\] в семь раз меньше площади четырёхугольника \[BC{B_1}{C_1}\].

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ точки }}{A_1},{\text{ }}{B_1}{\text{ и }}{C_1}{\text{ - середины сторон }}BC,{\text{ }}AC{\text{ и }}AB{\text{ соответственно}}{\text{,}}\\ AH{\text{ - высота}}{\text{, }}\angle BAC = {120^ \circ },{\text{ }}\angle BCA = {15^ \circ }.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что точки }}{A_1},{B_1},{C_1}{\text{ и }}H{\text{ лежат на одной окружности}}{\text{.}}\\ {\text{б) Найдите }}{A_1}H{\text{, если }}BC = 4\sqrt 3 . \end{array} } $$

Внутри квадрата поставлена точка удалённая от трёх вершин квадрата на расстояния 1, 2, 3. Найдите площадь квадрата.

В треугольнике ABC угол C - прямой, угол A = 30°. Внутри треугольника отмечена точка D так, что CD = 1, BD = 2, AD = 3. Найдите площадь треугольника ABC.

\[\begin{array}{l} {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ проведена медиана }}BM.{\text{ Известно}}{\text{, что}} \hfill \\ \angle AMB = {45^ \circ }.{\text{ На отрезке }}BM{\text{ выбрана точка }}K{\text{ такая}}{\text{, что}} \hfill \\ AB = KC.{\text{ Оказалось}}{\text{, что }}BK = 1.{\text{ Найдите }}AC. \hfill \\ \end{array}\]

\[BG = ?\]

\[\begin{array}{l} {\text{В прямоугольном треугольнике }}ABC{\text{ катет }}AB{\text{ равен 1}}{\text{, а гипотенуза}} \hfill \\ BC{\text{ равна 2}}{\text{. Треугольник }}BCD{\text{ - правильный}}{\text{, точка }}O{\text{ - его центр}} \hfill \\ {\text{(см}}{\text{. рис}}{\text{.)}}{\text{. Найдите }}AO. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что если длины всех сторон треугольника меньше 1}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{то его площадь меньше }}\frac{{\sqrt 3 }}{4}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\alpha ,\beta ,\gamma {\text{ - углы треугольника}}{\text{, а }}\varepsilon ,\delta ,\zeta {\text{ - углы между его медианами}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \end{array}\] $$\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\beta }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\gamma }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\varepsilon }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\delta }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\zeta }}.$$