tag:
конечные_суммы
Теорема
§
Дискретное преобразование Абеля (суммирование по частям)
§
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^n {\sin kx} = \sin \left( {\frac{{n + 1}}{2}x} \right) \cdot \frac{{\sin \frac{{nx}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^n {\cos kx} = \cos \left( {\frac{{n + 1}}{2}x} \right) \cdot \frac{{\sin \frac{{nx}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} \hfill \\
\end{array}\]
71.
\[{\text{Методом математической индукции докажите}}{\text{, что}}\]
$%\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\left( {3k - 2} \right)\left( {3k + 1} \right)}}} = \frac{n}{{3n + 1}}$%
85.
\[{\text{Вычислите:}}\]
$%\frac{1}{{1 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 13}} + \frac{1}{{13 \cdot 19}} + \frac{1}{{19 \cdot 25}} + ... + \frac{1}{{91 \cdot 97}}$%
104.
\[{\text{Вычислите:}}\]
$%\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2015} + \sqrt {2016} }}$%
255.
\[{\text{Докажите справедливость формулы:}}\]
$%\frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right) \cdot \left( {2n + 1} \right)}} = \frac{n}{{2n + 1}}$%
256.
\[{\text{Докажите справедливость формулы:}}\]
$%\frac{1}{{1 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{1}{{\left( {3n - 2} \right) \cdot \left( {3n + 1} \right)}} = \frac{n}{{3n + 1}}$%
335.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k{3^{n - k}}} = {2^n}.\]
445.
$%\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} = \frac{1}{4}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)$%
676.
\[\begin{array}{l}
{\text{Используя формулу }}{1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left( {1 + 2 + ... + n} \right)^2}{\text{,}} \hfill \\
{\text{вычислите }}{1^3} + {2^3} + ... + {30^3}. \hfill \\
\end{array} \]
840.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите тождество:}} \hfill \\
\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}} = \frac{{n - 1}}{n}. \hfill \\
\end{array}\]
841.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите тождество:}} \hfill \\
{{\text{1}}^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}. \hfill \\
\end{array}\]
844.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}.\]
851.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что 1 + }}\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2.\]
1328.
\[{\text{Сумма }}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} {\text{ не является целым числом при }}n > 1.\]
1436.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sum\limits_{k = 2}^n {k \cdot {2^k}} = {2^{n + 1}}\left( {n - 1} \right).\]
1780.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите по индукции:}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} = \Psi \left( {n + 1} \right) + \gamma . \hfill \\
\Psi \left( n \right){\text{ - дигамма - функция}}{\text{, }}\Psi \left( {n + 1} \right) = \Psi \left( n \right) + \frac{1}{n}. \hfill \\
\end{array}\]
1789.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите по индукции:}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}. \hfill \\
\end{array}\]
1981.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {\sin k} \right|} } \right) = \frac{2}{\pi }.\]
1983.
\[{\text{Вычислите }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\sin \frac{k}{n}} } \right).\]
2050.
\[\begin{array}{l}
{\text{Правильный }}n{\text{ - угольник вписан в единичную окружность}}{\text{. Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\
{\text{а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна }}{n^2}; \hfill \\
{\text{б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна }}n \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi }{{2n}}; \hfill \\
{\text{в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно }}{n^{\frac{n}{2}}}. \hfill \\
\end{array}\]
2120.
\[{\text{Prove that}}\]
$$\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {2k} \right)!!}}{{\left( {2k + 1} \right)!!}}} = \frac{{2n + 3}}{2} \cdot {\rm B}\left( {\frac{1}{2},n + 2} \right) - 1.$$
2125.
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{k^{\frac{1}{3}}}} } \right)}^3} \cdot {{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{k^{\frac{1}{4}}}} } \right)}^4}}}{{{{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{k^{\frac{1}{2}}}} } \right)}^2} \cdot {{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{k^{\frac{1}{5}}}} } \right)}^5}}}$$