\[\begin{array}{l}{\text{Найдите наибольшее и наименьшее значение}}\\{\text{выражения }}2{x^2} + 3{y^2}{\text{ при }}x + y = 2,x \ge 0,y \ge 0.\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{Найти наибольшее и наименьшее значение функции:}}\\y = {\sin ^2}x + 2\sin x - 5\end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наибольшее значение}} \hfill \\ {\text{выражения }}{\cos ^{13}}x + {\sin ^{14}}x. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найти максимальное значение выражения}} \hfill \\ S = \sqrt[3]{{\frac{a}{{b + 7}}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{{c + 7}}}} + \sqrt[3]{{\frac{c}{{d + 7}}}} + \sqrt[3]{{\frac{d}{{a + 7}}}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}a,b,c,d{\text{ - неотрицательные действительные числа}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{которые удовлетворяют условию }}a + b + c + d = 100. \hfill \\ \end{array}\]

В правильном треугольнике со стороной 1 размещены 3 равных квадрата максимального размера. Найдите площадь одного квадрата.

В правильный треугольник со стороной 1 вписан квадрат наибольшего размера. Найдите сторону квадрата.

В квадрате со стороной 1 размещены 3 равных правильных треугольника наибольшего размера. Найдите сторону треугольника.

В правильный пятиугольник со стороной 1 вписан правильный треугольник наибольшего размера. Найдите сторону треугольника.

В правильный пятиугольник со стороной 1 вписан квадрат наибольшего размера. Найдите сторону квадрата.

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наименьшее значение функции}} \hfill \\ f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {5{x^2} - 2x + 1} + \left( {5x - 1} \right)}} + \sqrt[3]{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {5{x^2} - 2x + 1} - \left( {5x - 1} \right)}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наибольшее значение площади прямоугольника}}{\text{, вписанного}} \hfill \\ {\text{в эллипс }}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Найдите наименьшее значение функции }}y = {e^x} + 2{e^{ - x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = {2^{\sin x}} \cdot {3^{\cos x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = {2^{\sin x}} + {2^{\cos x}}.\]

\[{\text{Найдите наименьшее значение функции }}y = {\left( {\sin x} \right)^{\sin x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = \sqrt[n]{{\sin x}} + \sqrt[n]{{\cos x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = {e^{ - x}} \cdot {x^n}{\text{ на интервале }}x \in \left[ {0; + \infty } \right).\]

\[{\text{Найдите наименьшее значение функции }}y = {\sin ^3}x + {\cos ^4}x{\text{ на отрезке }}x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = {\sin ^m}x{\cos ^n}x{\text{ на отрезке }}x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]. \hfill \\ \left( {m,n > 0} \right) \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = x + \sqrt[{100}]{{1 - x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - 8x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = \sqrt {\frac{{x + 5}}{{x - 4}}} + \sqrt {\frac{{x - 8}}{{x + 1}}} .\]

\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = \sqrt[3]{{\frac{{x + 10}}{{x - 1}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{x - 2}}{{x + 9}}}}{\text{ на интервале }}x \in \left[ {2; + \infty } \right).\]

\[{\text{Найдите множество значений функции }}y = \frac{{2 - \sin x}}{{2 - \cos x}}.\]

\[{\text{Найдите наибольшее и наименьшее значения функции }}y = \frac{{100 + \sin x}}{{100 + \cos x}}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите неравенство:}} \hfill \\ \sqrt[5]{{\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}}} \geqslant \sqrt[5]{2}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} a,b,c \in \mathbb{N},{\text{ }}c < b < a \leqslant 100 \hfill \\ {\text{Найдите }}a,{\text{ }}b{\text{ и }}c{\text{ при которых выражение}} \hfill \\ \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{a - b}} \hfill \\ {\text{принимает наименьшее значение}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]