tag:
§

Формулы сложных радикалов

$\sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}}$
§
$\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c{\text{ - действительные корни многочлена }}{x^3} - p{x^2} + qx - r{\text{,}} \hfill \\ {\text{причём }}3\sqrt[3]{{{r^2}}} + p\sqrt[3]{r} + q = 0. \hfill \\ {\text{Тогда }}\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{3\sqrt[3]{{{p^2}\sqrt[3]{r} - 3q\sqrt[3]{r}}} - p - 6\sqrt[3]{r}}}. \hfill \\ \end{array}$
\eqalign{ {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \hfill \\ (n - 1{\text{ знак корня}}{\text{, }}n \in \mathbb{N}) \hfill \\ }
$\begin{array}{l} {\text{Докажите равенство:}} \hfill \\ \sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} , \hfill \\ {\text{если }}a \geqslant \sqrt b . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{{8\pi }}{7}}} = \sqrt[3]{{\frac{{5 - 3\sqrt[3]{7}}}{2}}} \hfill \\ \sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{9}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{9}}} + \sqrt[3]{{\cos \frac{{8\pi }}{9}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3\sqrt[3]{9} - 6}}{2}}} \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что при всех натуральных }}n{\text{ верно неравенство:}} \hfill \\ \sqrt {{1^3} + \sqrt {{2^3} + ... + \sqrt {{n^3}} } } < 3. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[5]{{232 + 164\sqrt 2 }} + \sqrt[5]{{232 - 164\sqrt 2 }}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[3]{{\frac{{27 + 11\sqrt 6 }}{{72}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{27 - 11\sqrt 6 }}{{72}}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\sqrt {1 + \sqrt {\frac{1}{2} + \sqrt {\frac{1}{3} + \sqrt {\frac{1}{4} + ... + \sqrt {\frac{1}{n} + ...} } } } } = ?$
$\begin{array}{l} {\text{Решите уравнение:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2x}}{{3 - 2x}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2x}}{{3 + 2x}}}} = {x^2} + 3. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{а) }}\sqrt {\sqrt[3]{{80}} - \sqrt[3]{{64}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( { - \sqrt[3]{{100}} + 2\sqrt[3]{{10}} + 2} \right) \hfill \\ {\text{б) }}\sqrt {\sqrt[3]{{125}} - \sqrt[3]{{100}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{10}} - 5} \right) \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \left[ {{\text{Рамануджан}}} \right] \hfill \\ \sqrt[3]{{\sqrt[3]{2} - 1}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}} - \sqrt[3]{{\frac{2}{9}}} + \sqrt[3]{{\frac{4}{9}}} \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \left[ {{\text{Рамануджан}}} \right] \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{5}}}{{3 - 2\sqrt[4]{5}}}}} = \frac{{\sqrt[4]{5} + 1}}{{\sqrt[4]{5} - 1}} \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{2 + \sqrt[4]{{12}}}}{{2 - \sqrt[4]{{12}}}}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 + \sqrt[4]{{12}}}}{{3 + \sqrt 3 - \sqrt[4]{{12}}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{11 + 6\sqrt[4]{{10}}}}{{11 - 6\sqrt[4]{{10}}}}}} = \frac{1}{{41}}\left( {\sqrt {1189 + 451\sqrt {10} } + \sqrt {2870 + 451\sqrt {10} } } \right). \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[8]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}}} + \sqrt[8]{{\frac{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}}} = \frac{1}{7}\sqrt {98 + 14\sqrt {35 + 21\sqrt 2 } } . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[8]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}}} = \frac{1}{{14}}\left( {\sqrt {98 + 14\sqrt {35 + 21\sqrt 2 } } + \sqrt { - 98 + 14\sqrt {35 + 21\sqrt 2 } } } \right). \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[5]{{\frac{{123 + 55\sqrt 5 }}{2}}} + \sqrt[5]{{\frac{{123 - 55\sqrt 5 }}{2}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[6]{{99 + 70\sqrt 2 }} + \sqrt[6]{{99 - 70\sqrt 2 }}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt {4 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}} + \sqrt { - 4 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}} = \sqrt[6]{{2048}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[{{2^n}}]{{\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}}} + \sqrt[{{2^n}}]{{\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + 2\sqrt 2 } } } } }_{n{\text{ корней}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c{\text{ - положительные рациональные числа}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{а числа }}\sqrt[n]{a}{\text{, }}\sqrt[n]{b},{\text{ }}\sqrt[n]{c}{\text{ - иррациональные}}{\text{, }}n \in \mathbb{N}. \hfill \\ {\text{Возможны ли при каком - либо }}n \geqslant 3{\text{ равенства:}} \hfill \\ {\text{а) }}\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} = 1; \hfill \\ {\text{б) }}\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{c} + 1? \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt {\frac{{3 + \sqrt[3]{3}}}{{3 - \sqrt[3]{3}}}} + \sqrt {\frac{{3 - \sqrt[3]{3}}}{{3 + \sqrt[3]{3}}}} . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt {\frac{{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}}} + \sqrt {\frac{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}}} . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt {\sqrt {\frac{1}{2}} + \sqrt {\frac{1}{3}} } + \sqrt {\sqrt {\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{3}} } = \sqrt[4]{{\frac{{8 + 4\sqrt 3 }}{3}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt {\frac{1}{6}} + \sqrt {\frac{1}{8}} }} + \sqrt[4]{{\sqrt {\frac{1}{6}} - \sqrt {\frac{1}{8}} }} = \sqrt[4]{{2 + \frac{{5\sqrt 6 }}{6}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{6}}} + \sqrt[4]{{\frac{1}{8}}}}} + \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{6}}} - \sqrt[4]{{\frac{1}{8}}}}} = \sqrt[{16}]{{378 + 216\sqrt 3 }}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{9}}} + \sqrt[4]{{\frac{1}{{12}}}}}} + \sqrt[4]{{\sqrt[4]{{\frac{1}{9}}} - \sqrt[4]{{\frac{1}{{12}}}}}} = \sqrt[4]{{3 + \sqrt 3 }}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[3]{{\frac{1}{6}}} + \sqrt[3]{{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{2}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\sqrt[4]{4} + \sqrt[4]{3}}} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[8]{{72 + 36\sqrt 3 }} + \sqrt[8]{{104 - 60\sqrt 3 }}} \right). \hfill \\ \end{array}$
${\text{Докажите}}{\text{, что }}\sqrt 2 ,\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{2},...{\text{ линейно независимы над }}\mathbb{Q}.$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \frac{{\sqrt[3]{{378}} + \sqrt[3]{{441}}}}{{\sqrt[3]{{28}} + \sqrt[3]{{24}}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \frac{{\sqrt[3]{{14}} - \sqrt[3]{7}}}{{\sqrt[3]{{16}} - \sqrt[3]{4}}} = \sqrt[3]{{\frac{7}{{12}}\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt {1 + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}} . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt {1 + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^4}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^4}}}} . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[3]{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}} \right)}^3}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c{\text{ - корни многочлена }}{x^3} - {x^2} - 2x + 1. \hfill \\ {\text{Докажите тождества:}} \hfill \\ {\text{а) }}\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{3\sqrt[3]{7} - 5}}; \hfill \\ {\text{б) }}\sqrt[3]{{a + b}} + \sqrt[3]{{a + c}} + \sqrt[3]{{b + c}} = \sqrt[3]{{3\sqrt[3]{7} - 4}}; \hfill \\ {\text{в) }}\sqrt[3]{{a{b^2}}} + \sqrt[3]{{{a^2}c}} + \sqrt[3]{{b{c^2}}} = \sqrt[3]{7}; \hfill \\ {\text{г) }}\sqrt[3]{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}} = \sqrt[3]{{49}}; \hfill \\ {\text{д) }}\sqrt[3]{{\frac{{{a^4}}}{{{b^2}{c^2}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{c^2}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{{c^4}}}{{{a^2}{b^2}}}}} = 5; \hfill \\ {\text{е) }}\frac{1}{{\sqrt[3]{{a + 1}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{b + 1}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{c + 1}}}} = 0. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{4}{{2 + \sqrt[3]{4}}}}} + \sqrt[4]{{\frac{1}{{1 + \sqrt[3]{2}}}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\sqrt[4]{{\frac{8}{{\sqrt[3]{2} + 2}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{2} + 2}}}} = \sqrt[4]{{\frac{{4 + 7\sqrt[3]{2}}}{{2 - \sqrt[3]{2}}}}}$
$\sqrt[4]{{\frac{{24}}{{\sqrt[3]{3} + 5}} - 3}} + \frac{2}{3}\sqrt {1 - \frac{6}{{\sqrt[3]{3} + 5}}} = \sqrt {\frac{2}{{5 \cdot \left( {5\sqrt[3]{3} - 7} \right)}} - \frac{{31}}{{45}}}$
$\begin{array}{l} {\text{а) }}\sqrt {x + \frac{1}{2}\sqrt {x + \frac{1}{4}\sqrt {x + \frac{1}{8}\sqrt {x + \frac{1}{{16}}\sqrt {x + ...} } } } } = \frac{1}{4} + \sqrt x ; \hfill \\ {\text{б) }}\sqrt {x - \frac{1}{2}\sqrt {x - \frac{1}{4}\sqrt {x - \frac{1}{8}\sqrt {x - \frac{1}{{16}}\sqrt {x - ...} } } } } = - \frac{1}{4} + \sqrt x . \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + \sqrt[4]{{\frac{{\sqrt 6 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ {\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{3}}}} \right)^4}. \hfill \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} {\text{Simplify}}: \hfill \\ \sqrt {\sqrt 6 + \sqrt 2 + 1} + \sqrt {\sqrt 6 + \sqrt 2 - 1} + \sqrt {\sqrt 6 - \sqrt 2 + 1} + \sqrt {\sqrt 6 - \sqrt 2 - 1} . \hfill \\ \end{array}$
$$\begin{array}{l} {\text{Найдите целое число }}x,{\text{ которое удовлетворяет равенству}}{\text{.}} \hfill \\ \sqrt[4]{{3\sqrt 5 - 1 - \sqrt {6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)} }} + \sqrt[4]{{3\sqrt 5 - 1 + \sqrt {6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)} }} = \sqrt {x + \sqrt {6 + 6\sqrt 5 } } . \hfill \\ \end{array}$$
${\text{Найдите }}x \in \mathbb{N}.$ $$\frac{1}{{\sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{9}}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{9}}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\cos \frac{{8\pi }}{9}}}}} = \sqrt[3]{{x\left( {\sqrt[3]{9} - 1} \right)}}$$
${\text{Найдите }}y \in \mathbb{N}.$ $$\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}\frac{{2\pi }}{9}}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}\frac{{4\pi }}{9}}}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}\frac{{8\pi }}{9}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{y\left( {\sqrt[3]{9} - 1} \right)}}{{\sqrt[3]{9} - 2}}}}$$