tag:
касательная
64
§

Уравнение касательной к эллипсу

\[\begin{array}{l} {\text{Уравнение касательной к эллипсу }}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\text{ в точке }}\left( {{x_0},{y_0}} \right){\text{ имеет вид}} \hfill \\ \frac{{x \cdot {x_0}}}{{{a^2}}} + \frac{{y \cdot {y_0}}}{{{b^2}}} = 1. \hfill \\ \end{array}\]
1835.
\[\begin{array}{l} {\text{К графикам функций }}y = \frac{1}{{3x}}{\text{ и }}y = \sqrt {1 - 4{x^2}} {\text{ проведены общие касательные}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Найдите абсциссы точек }}A{\text{ и }}B. \hfill \\ \end{array}\]

1836.
1841.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\kappa \left( t \right) = \frac{{x'y'' - x''y'}}{{{{\left( {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{\text{ - кривизна регулярной кривой }}\gamma , \hfill \\ I = \int\limits_\gamma {\kappa \left( t \right)d\gamma } = \int\limits_a^b {\kappa \left( t \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} , \hfill \\ {l_1}{\text{ - касательная к }}\gamma {\text{ при }}t = a,{\text{ }}{l_2}{\text{ - касательная к }}\gamma {\text{ при }}t = b. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}\left| I \right|{\text{ равен углу между }}{l_1}{\text{ и }}{l_2}. \hfill \\ \end{array}\]
1956.
\[{\text{Эллипс вписан в прямоугольник}}{\text{. Найдите площадь прямоугольника}}{\text{.}}\]

1972.
2080.
\[\begin{array}{l} {\text{Line }}AB{\text{ is normal line to lemniscate }}\rho {\text{ = }}\sqrt {\cos 2\varphi } {\text{ at point }}A{\text{ and is tangent to the lemniscate}} \hfill \\ {\text{at point }}B{\text{ (see pic}}{\text{.)}}{\text{. Find coordinates of points }}A{\text{ and }}B,{\text{ }}\left| {AB} \right|{\text{ and equation of line }}AB. \hfill \\ \end{array} \]