tag:
improper_integral
Теорема
§
Интеграл Фруллани
§
Method
\[\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - 2{x^2}}}}}{{{x^2}}}dx} \hfill \\
f\left( t \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - t{x^2}}}}}{{{x^2}}}dx} \Rightarrow f'\left( t \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - t{x^2}}}dx} = \frac{{\sqrt \pi }}{{2\sqrt t }} \Rightarrow \hfill \\
f\left( t \right) = \sqrt {\pi \cdot t} + C \hfill \\
f\left( 1 \right) = \sqrt \pi + C = 0 \Leftrightarrow C = - \sqrt \pi \hfill \\
I = f\left( 2 \right) = \sqrt {2\pi } - \sqrt \pi . \hfill \\
\end{array} \]
1720.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\
\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {x^{2n}}}}dx} = \frac{\pi }{{2n \cdot \sin \frac{\pi }{{2n}}}}. \hfill \\
n \in \mathbb{N} \hfill \\
\end{array}\]
1728.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin x}}{{\sinh x}}dx} = \frac{\pi }{2}\tanh \frac{\pi }{2}.\]
1729.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что число }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{{\cosh }^{2n}}x}}dx} {\text{ рациональное}}{\text{.}}\]
1779.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}} \cdot {x^n}dx} = n!\]
1862.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^{\frac{1}{k}}}}}dx} = k \cdot \Gamma \left( k \right)\]
2016.
\[\begin{array}{l}
N = \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}}{{\sin }^k}xdx} ,{\text{ }}k \in \mathbb{N} \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}N \in \mathbb{Q}. \hfill \\
{\text{б) Пусть }}N = \frac{m}{n},{\text{ }}p{\text{ - нечётный простой делитель числа }}m, \hfill \\
q{\text{ - нечётный простой делитель числа }}n. \hfill \\
{\text{Докажите}}{\text{, что }}p \equiv 3\bmod 4,{\text{ }}q \equiv 1\bmod 4. \hfill \\
\end{array}\]
2020.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - \frac{x}{2}}}\sin \sqrt x dx} \]
2081.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos x}}{{{x^2} + 1}}dx} = \frac{\pi }{{2e}}.\]
2095.
$$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^4} + 2{x^2} + 2}}} = \frac{\pi }{{2\sqrt {1 + \sqrt 2 } }}.$$
2105.
\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x \cdot t}}{{\sin }^{2n}}xdx} = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{t\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {{t^2} + {{\left( {2k} \right)}^2}} \right)} }}, \hfill \\
\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x \cdot t}}{{\sin }^{2n + 1}}xdx} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{\prod\limits_{k = 0}^n {\left( {{t^2} + {{\left( {2k + 1} \right)}^2}} \right)} }}, \hfill \\
t > 0. \hfill \\
\end{array} \]
2115.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{x}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}dx} \]
2117.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\left| {\sin x} \right|}}{{{e^x}}}dx} $$
2118.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {\cosh x} }}} $$
2119.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^{2n}}x}}} ,{\text{ }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^{2n + 1}}x}}} $$
2129.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin \left( {{x^2}} \right)}}{{{e^{{x^2}}}}}dx} = \frac{1}{4}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + \sqrt 2 }}} $$
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos \left( {{x^2}} \right)}}{{{e^{{x^2}}}}}dx} = \frac{1}{4}\sqrt {\pi \cdot \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} $$
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos \left( {{x^2}} \right)}}{{{e^{{x^2}}}}}dx} = \frac{1}{4}\sqrt {\pi \cdot \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} $$
2131.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{x}{{{x^{\ln x}}}}dx} $$
2132.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{x^{2n}}}}{{{e^{\pi x}} - 1}}dx} = \frac{{\left( {2n} \right)!\zeta \left( {2n + 1} \right)}}{{{\pi ^{2n + 1}}}},{\text{ }}n \in \mathbb{N}.$$
2133.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin x}}{{{e^{\pi x}} - 1}}dx} = \frac{1}{{{e^2} - 1}}$$
2146.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} $$