\[\tanh \frac{1}{n} = \frac{1}{{n + \frac{1}{{3n + \frac{1}{{5n + \frac{1}{{7n + \frac{1}{{...}}}}}}}}}}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin x}}{{\sinh x}}dx} = \frac{\pi }{2}\tanh \frac{\pi }{2}.\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что число }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{{\cosh }^{2n}}x}}dx} {\text{ рациональное}}{\text{.}}\]

\[{\text{Найдите длину кривой }}y = \cosh x{\text{ при 0}} \leqslant x \leqslant \ln 2.\]

\[\coth x = \frac{{{e^{2x}} + 1}}{{{e^{2x}} - 1}} = \frac{1}{x} + \frac{{\frac{1}{{1 \cdot 3}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{{\frac{1}{{3 \cdot 5}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{{\frac{1}{{5 \cdot 7}}}}{{\frac{1}{x} + ...}}}}}}.\]

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{x^{2n}}}}{{\cosh x}}dx} = \left| {{E_{2n}}} \right| \cdot {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{2n + 1}},$$ \[n \in \mathbb{N}.\]

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{1 + {{\left( {2k} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {2k + 1} \right)}^2}}}} } \right) = \tanh \frac{\pi }{2}$$

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {\cosh x} }}} $$

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^{2n}}x}}} ,{\text{ }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^{2n + 1}}x}}} $$

$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{\cosh \left( {\pi k} \right)}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\rm B}\left( {\frac{3}{4},\frac{3}{4}} \right)}}.$$ $$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{\cosh \left( {\pi k} \right)}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\rm B}\left( {\frac{1}{2},\frac{3}{4}} \right)}}.$$