$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}x{\text{ - вещественное число}}{\text{, }}{i^2} = - 1,{\text{ }}{\left( {xi+1} \right)^n} = {p_n}\left( x \right) + i \cdot {q_n}\left( x \right){\text{, }}n \in \mathbb{N}. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что при }}n = {2^k}{\text{ многочлен }}{p_n}\left( x \right){\text{ раскладывается в}} \hfill \\ {\text{произведение двух неприводимых многочленов степени }}{2^{k - 1}}. \hfill \\ {\text{б) Докажите}}{\text{, что многочлен }}{p_n}\left( x \right){\text{ неприводим над }}\mathbb{Q}{\text{ тогда и только}} \hfill \\ {\text{тогда}}{\text{, когда }}n{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{в) Докажите}}{\text{, что }}\operatorname{tg} nx = \frac{{{q_n}\left( {\operatorname{tg} x} \right)}}{{{p_n}\left( {\operatorname{tg} x} \right)}}. \hfill \\ \end{array}$%

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что многочлен деления круга }}f\left( x \right) = {x^{p - 1}} + {x^{p - 2}} + ... + x + 1 \hfill \\ {\text{(}}p{\text{ - простое) неприводим над }}\mathbb{Q}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите неприводимость над }}\mathbb{Q}{\text{ многочлена }}f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} + 2x + 1.\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sqrt 2 ,\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{2},...{\text{ линейно независимы над }}\mathbb{Q}.\]