tag:
дзета-функция_Римана
\[{\text{Найдите сумму ряда }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^6}}}} .\]
\[{\text{Пусть }}\zeta \left( s \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^s}}}} ,{\text{ }}\eta \left( s \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^s}}}} .{\text{ Докажите}}{\text{, что }}\eta \left( s \right) = \left( {1 - {2^{1 - s}}} \right)\zeta \left( s \right).\]
\[{\text{Вычислите }}\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}dx} .\]
\[\int\limits_0^1 {\frac{{\ln x\ln \left( {1 - x} \right)}}{x}dx} = \zeta \left( 3 \right).\]
\[\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {xyz} \right) \cdot \ln \left( {1 - xyz} \right)}}{{xyz}}} } } dzdydx = 3\zeta \left( 5 \right)\]
\[{\text{Вычислите }}\zeta '\left( 0 \right).\]
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{x^{2n}}}}{{{e^{\pi x}} - 1}}dx} = \frac{{\left( {2n} \right)!\zeta \left( {2n + 1} \right)}}{{{\pi ^{2n + 1}}}},{\text{ }}n \in \mathbb{N}.$$