$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\alpha ,\beta ,\gamma {\text{ - углы треугольника}}{\text{. Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma . \hfill \\ \end{array} $%

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\alpha ,\beta ,\gamma {\text{ - углы треугольника}}{\text{, а }}\varepsilon ,\delta ,\zeta {\text{ - углы между его медианами}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \end{array}\] $$\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\beta }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\gamma }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\varepsilon }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\delta }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\zeta }}.$$

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c{\text{ - стороны треугольника}}{\text{, }}p{\text{ - полупериметр}}{\text{, }}r{\text{ - радиус}} \hfill \\ {\text{вписанной окружности}}{\text{, }}R{\text{ - радиус описанной окружности}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ ab + bc + ac = {r^2} + {p^2} + 4rR. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = \frac{1}{{2Rr}}.\]