\[\begin{array}{l} ({\text{Теорема Цекендорфа}}) \hfill \\ {\text{Любое натуральное число либо само является числом Фибоначчи}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{либо представляется единственным образом в виде суммы нескольких}} \hfill \\ {\text{чисел Фибоначчи (кроме }}{F_1}{\text{, его использовать нельзя)}}{\text{, среди которых}} \hfill \\ {\text{нет соседних}}{\text{. Например: }}444 = 377 + 55 + 8 + 3 + 1 = {F_{14}} + {F_{10}} + {F_6} + {F_4} + {F_2}. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что каждое натуральное число возможно представить}} \hfill \\ {\text{таким образом}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Дана некоторая сумма чисел Фибоначчи}}{\text{, среди которых нет соседних}} \hfill \\ {\text{и самое большое число }}{F_n}.{\text{ Докажите}}{\text{, что эта сумма меньше }}{F_{n + 1}}. \hfill \\ {\text{в) Докажите}}{\text{, что представление каждого числа в виде указанной суммы}} \hfill \\ {\text{единственно}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} {\text{а) Пусть }}a \leqslant b.{\text{ Докажите}}{\text{, что все решения в натуральных числах уравнения}} \hfill \\ {a^2} + {b^2} = 3ab + 1{\text{ есть }}\left( {{F_{2k}},{F_{2k + 2}}} \right){\text{, где }}{F_{2k}}{\text{ и }}{F_{2k + 2}}{\text{ - числа Фибоначчи}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Пусть задано натуральное число }}m.{\text{ Решите в натуральных числах}} \hfill \\ {\text{уравнение }}{a^2} + {b^2} = m \cdot ab + 1. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Рассмотрим числа Фибоначчи}}{\text{, которые являются также простыми числами}} \hfill \\ {\text{и больше 3}}{\text{. Докажите}}{\text{, что эти числа сравнимы с 1 }}\bmod 4. \hfill \\ \end{array}\]