tag:
простые_числа
27
Теорема
§

Теорема Вильсона

\[\begin{array}{l} {\text{Натуральное число }}p{\text{ является простым тогда и только тогда}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{когда }}\left( {p - 1} \right)! + 1{\text{ делится на }}p. \hfill \\ \end{array}\]
30
Теорема
§

Малая теорема Ферма

\[{\text{Если }}p{\text{ - простое число и }}a{\text{ - целое число}}{\text{, не делящееся на }}p{\text{, то }}{a^{p - 1}} \equiv 1{\text{ }}\left( {\bmod p} \right).\]
34
Теорема
§

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}l,k > 0{\text{ - целые числа и }}\left( {l,k} \right) = 1. \hfill \\ {\text{Тогда существует бесконечно много простых чисел }}p{\text{ таких}}{\text{, что }}p \equiv l{\text{ }}\left( {\bmod k} \right). \hfill \\ \end{array}\]
41
Теорема
§
\[\begin{array}{l} {\text{Ряд чисел}}{\text{, обратных к простым}}{\text{, расходится}}{\text{. Более того}}{\text{, при }}x \to \infty \hfill \\ \sum\limits_{p < x} {\frac{1}{p}} \sim \ln \ln x \hfill \\ \end{array}\]
27
\[\begin{array}{l} {\text{Если число }}m{\text{ вида }}4k + 1{\text{ можно представить в виде суммы двух}} \hfill \\ {\text{квадратов не менее чем двумя разными способами}}{\text{, то }}m{\text{ - составное}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Число }}m = 4k + 1{\text{ простое в том и только в том случае}}{\text{, если оно}} \hfill \\ {\text{представляется в виде суммы двух квадратов единственным способом}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
32
§
\[C_p^k{\text{ делится на }}p.\]
39
§
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}{\nu _p}\left( N \right){\text{ - степень простого числа }}p{\text{ в разложении числа }}N.{\text{ Тогда}} \hfill \\ {\nu _p}\left( {n!} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {\frac{n}{{{p^j}}}} \right]} \hfill \\ \end{array}\]
69
§

Асимптотика полупростых чисел

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}f\left( x \right){\text{ - количество полупростых чисел на отрезке }}\left[ {1;x} \right]. \hfill \\ {\text{Тогда}} \hfill \\ f\left( x \right) \sim \frac{{x\ln \left( {\ln x} \right)}}{{\ln x}}. \hfill \\ \end{array}\]
575.
$$\eqalign{ {\text{Пусть }}p{\text{ и }}{p^2} + 2{\text{ - простые числа}}{\text{. Докажите}}{\text{, что }}{p^3} + 2{\text{ - также простое число}}{\text{.}} } $$
895.
\[{\text{При каких значениях }}p{\text{ все три числа }}p,{\text{ }}2p + 1{\text{ и }}4p + 1{\text{ будут простыми?}}\]
994.
Числа p, p+10 и p+14 - простые. Найдите p.
1304.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 3{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что число }}{p^2} - 1{\text{ делится на 24}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
1306.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 5{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что число }}{p^4} - 1{\text{ делится на 240}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
1326.
\[\begin{array}{l} {\text{Верно ли что для любого }}m \in \mathbb{N}{\text{ существует бесконечно много простых}} \hfill \\ {\text{чисел }}p{\text{ таких}}{\text{, что число }}2mp + 1{\text{ также простое?}} \hfill \\ \end{array}\]
1327.
\[{\text{Есть ли простые числа вида }}{6^{{2^k}}} + 1{\text{ при }}k > 2?\]
1350.
\[{\text{При каких простых }}p{\text{ число }}{p^3} - 4p + 9{\text{ будет точным квадратом?}}\]
1411.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\varphi \left( n \right){\text{ - функция Эйлера}}{\text{. Известно}}{\text{, что }}\varphi \left( {{p_1} \cdot {p_2} \cdot {p_3} \cdot {p_4} \cdot {p_5} \cdot {p_6}} \right) = {2^{31}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}{p_i}{\text{ - различные простые числа}}{\text{. Найдите }}{p_i}. \hfill \\ \end{array}\]
1637.
\[{\text{При каких простых }}p{\text{ число }}8{p^2} + 1{\text{ простое?}}\]
1859.
\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наименьшее трёхзначное число}}{\text{, которое обладает}} \hfill \\ {\text{всеми следующими тремя свойствами:}} \hfill \\ {\text{это число простое;}} \hfill \\ {\text{все цифры этого числа различны;}} \hfill \\ {\text{при зачёркивании любой одной цифры этого числа остаётся}} \hfill \\ {\text{двузначное простое число}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
1861.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что сумма кубов трёх последовательных натуральных}} \hfill \\ {\text{чисел}}{\text{, т}}{\text{.е}}{\text{. }}{n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3}{\text{, не может быть простым числом}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
1870.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{. Найдите все такие пары натуральных}} \hfill \\ {\text{чисел}}\left( {x,y} \right){\text{, что }}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}. \hfill \\ \end{array}\]
2018.
\[{\text{Бесконечно ли много простых среди чисел вида 2}}\underbrace {{\text{0}}...0}_{n{\text{ нулей}}}3?\]
2059.
\[{\text{Пусть }}{p_1},{p_2},{p_3},...{\text{ - простые числа}}{\text{. Докажите}}{\text{, что }}{p_{2k}} > 2{p_k},{\text{ }}k \geqslant 2.\]
2061.
\[{\text{Пусть }}{p_1},{p_2},{p_3},...{\text{ - простые числа}}{\text{. Докажите}}{\text{, что }}{p_{2k}} < 3{p_k}.\]