\[\begin{array}{l} {\text{Using digits 1 to 9}}{\text{, arrange the numbers in three groups}}\\ {\text{so that the sum is the same in each group}}{\text{. Is there more}}\\ {\text{than one way to do this? Explain}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{Набор}}{\text{, состоящий из целых чисел }}a,b,c{\text{, заменили на набор}}\\a - 1,{\text{ }}b + 1,{\text{ }}{c^2}.{\text{ В результате получились те же числа }}a,b,c{\text{, но}}\\{\text{в другом порядке}}{\text{. Найдите числа }}a,b,c{\text{, если известно}}{\text{, что}}\\{\text{их сумма равна 1001}}{\text{.}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Можно ли расставить числа от 3 до 11 в клетках квадрата}}\\ {\text{3}} \times {\text{3 так}}{\text{, чтобы произведения чисел в строках были равны}}\\ {\text{произведениям чисел в столбцах с теми же номерами?}} \end{array}\]

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Show that if n+1 integers are choosen from set {1,2,3,…,2n}, then there are always two which differ by 1.

Place the integers \[1,2,3,...,{n^2}\] (without duplication) in any order onto an \[n \times n\] chessboard, with one integer per square. Show that there exist two (horizontally, vertically, or diagonally) adjacent squares whose values differ by at least n + 1.

Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

Можно ли расположить числа от 1 до 20 в вершинах и на рёбрах куба так, чтобы число на ребре было средним арифметическим двух вершин, которые оно соединяет?