Из целых чисел от 1 до 2n выбрано n + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.

\[{\text{Чётно ли число 1}}{{\text{1}}^{2015}} - 1?{\text{ Делится ли оно на 10?}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите последнюю цифру числа:}}\\ {\text{а) }}{3^{100}};{\text{ б) 201}}{{\text{2}}^{2015}} + {2013^{2014}}. \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Натуральные числа }}m{\text{ и }}n{\text{, }}m \ne n,{\text{ таковы}}{\text{, что число }}{2013^m}\\ {\text{имеет такую же последнюю цифру}}{\text{, как и 201}}{{\text{3}}^n}.\\ {\text{а) Приведите пример таких чисел }}m{\text{ и }}n.\\ {\text{б) Выясните}}{\text{, какое наименьшее значение может принимать}}\\ {\text{величина }}m + n. \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что число }}{{\text{2}}^{10}} + {5^{12}}{\text{ - составное}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что число }}1 + 13 + {13^2} + ... + {13^{2007}}\\ {\text{делится на 7}}{\text{.}} \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что 6}}{{\text{4}}^{25}} + {48^{17}}{\text{ делится на 7}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Существуют ли такие натуральные числа }}n{\text{ и }}k{\text{, что значение выражения}} \hfill \\ {5^n} + 1{\text{ кратно значению выражения }}{5^k} - 1? \hfill \\ \end{array}\]

$$\eqalign{ & {\text{Докажите}}{\text{, что при }}n \in {\Bbb N},n \geqslant 2{\text{ значение выражения}} \cr & {7^{n + 2}} - {5^{n + 2}} + {5^n} + {7^n}{\text{ делится на 50}}{\text{.}} \cr} $$

Известно, что у чисел n-1 и n+1 всего по два делителя, а у числа n - четыре делителя. Чему может быть равно n?

Какие целые числа имеют ровно два делителя?

Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Может ли быть верным равенство \[{\text{К}} \cdot {\text{О}} \cdot {\text{Т = У}} \cdot {\text{Ч}} \cdot {\text{Ё}} \cdot {\text{Н}} \cdot {\text{Ы}} \cdot {\text{Й}}\], если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? (Разным буквам соответствуют разные цифры.)

Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 3 и которое записывается тремя различными нечётными числами.

Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на 4.

Можно ли числа от 1 до 10 разбить на две группы так, чтобы произведение чисел в одной из групп равнялось произведению чисел в другой группе?

\[{\text{Докажите}}{\text{, что число вида }}{n^2} + 1{\text{ не делится на 3}}{\text{.}}\]

$$\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что число 2}}\underbrace {{\text{00}}...{\text{00}}}_{n{\text{ нулей}}}2{\text{ не является}} \hfill \\ {\text{квадратом ни при каком }}n. \hfill \\ \end{array} $$

\[{\text{Докажите}}{\text{, что число }}6{n^2} - 3{\text{ не может быть кубом целого числа}}{\text{.}}\]

\[{\text{Известно}}{\text{, что }}\left( {{a^{12}} + {b^{12}}} \right) \vdots 3.{\text{ Докажите}}{\text{, что }}ab \vdots 9.\]

\[{\text{Известно}}{\text{, что }}\left( {{a^{10}} + {b^{10}}} \right) \vdots n{\text{ и }}\left( {{a^{107}} + {b^{107}}} \right) \vdots n.{\text{ Докажите}}{\text{, что }}\left( {{a^{2007}} + {b^{2007}}} \right) \vdots n.\]

\[{\text{При каких значениях }}p{\text{ все три числа }}p,{\text{ }}2p + 1{\text{ и }}4p + 1{\text{ будут простыми?}}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}{5^{2n + 1}} + {2^{n + 4}} + {2^{n + 1}}{\text{ кратно }}23.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что среди чисел вида }}{4^n} + {4^m}{\text{ нет ни одного квадрата}} \hfill \\ {\text{натурального числа}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

Докажите, что квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

При делении натурального числа \[n\] на 9 остаток равен неполному частному, при делении \[n\] на 14 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения \[n\].

Докажите, что для любого натурального числа \[n\] найдётся натуральное число, кратное \[n\], в десятичной записи которого используются только цифры 1 и 0.

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p \geqslant 5{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p^2}} \\ p \end{array}} \right) - p{\text{ делится на }}{p^5}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {{\text{3}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{15n + 1}} + 1} \right) \vdots 31,{\text{ }}n \in \mathbb{N}.\]