\[\begin{array}{l} {\text{In the product 1}} \times {\text{2}} \times 3 \times 4 \times 5 \times 6,{\text{ which one of the six numbers should}}\\ {\text{be increased by 1 to cause the greatest increase in the product?}} \end{array}\]

$%\prod\limits_{n = 1}^k {\left( {{x^{{2^n}}} + {y^{{2^n}}}} \right)} $%

\[\begin{array}{l} {\text{Можно ли расставить числа от 3 до 11 в клетках квадрата}}\\ {\text{3}} \times {\text{3 так}}{\text{, чтобы произведения чисел в строках были равны}}\\ {\text{произведениям чисел в столбцах с теми же номерами?}} \end{array}\]

$$\eqalign{ & {\text{Упростите:}} \cr & {\log _2}1000 \cdot {\log _3}999 \cdot {\log _4}998 \cdot ... \cdot {\log _{999}}3 \cdot {\log _{1000}}2 \cr} $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \prod\limits_{k = 1}^{2018} {\cos \frac{{\pi k}}{{2019}}} \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\log _2}3 \cdot {\log _3}4 \cdot {\log _4}5 \cdot ... \cdot {\log _{30}}31 \cdot {\log _{31}}32 } $$

Натуральные числа от 1 до 9 разбили на три группы. Докажите, что найдётся группа, произведение чисел которой не менее 72.

\[{\text{Докажите тождество: }}\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right) \cdot ... \cdot \left( {n + n} \right) = {2^n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot \left( {2n - 1} \right).\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что при чётном }}n{\text{ число }}\frac{{1!2!3! \cdot ... \cdot \left( {2n} \right)!}}{{n!}}{\text{ - квадрат}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{{2\pi }}{{31}}\cos \frac{{4\pi }}{{31}}\cos \frac{{8\pi }}{{31}}\cos \frac{{16\pi }}{{31}}\cos \frac{{32\pi }}{{31}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\prod\limits_{k = 1}^n {\cos \frac{k}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}} } \right) = {e^{ - \frac{1}{6}}}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождества:}} \hfill \\ {\text{а) }}\prod\limits_{k = 1}^n {\sin \frac{{\pi k}}{{2n + 1}}} = \frac{{\sqrt {2n + 1} }}{{{2^n}}}; \hfill \\ {\text{б) }}\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\sin \frac{{\pi k}}{{2n}}} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^{n - 1}}}}; \hfill \\ {\text{в) }}\prod\limits_{k = 1}^n {\cos \frac{{\pi k}}{{2n + 1}}} = \frac{1}{{{2^n}}}; \hfill \\ {\text{г) }}\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\cos \frac{{\pi k}}{{2n}}} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^{n - 1}}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Правильный }}n{\text{ - угольник вписан в единичную окружность}}{\text{. Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ {\text{а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна }}{n^2}; \hfill \\ {\text{б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна }}n \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi }{{2n}}; \hfill \\ {\text{в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно }}{n^{\frac{n}{2}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\prod\limits_{k = 1}^{2n} {\Gamma \left( {\frac{k}{{2n + 1}}} \right)} = \frac{{{{\left( {2\pi } \right)}^n}}}{{\sqrt {2n + 1} }}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\sin \frac{{\pi k}}{n}} = \frac{n}{{{2^{n - 1}}}}. \hfill \\ \end{array}\]