tag:
рекуррентные_последовательности
§
\[\begin{array}{l} {\text{Последовательность чисел Фибоначчи задаётся следующим образом:}} \hfill \\ {F_1} = {F_2} = 1; \hfill \\ {F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}{\text{ (}}n \geqslant 3{\text{)}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} {\text{Первые 15 чисел Фибоначчи:}} \hfill \\ {\text{1}}{\text{, 1}}{\text{, 2}}{\text{, 3}}{\text{, 5}}{\text{, 8}}{\text{, 13}}{\text{, 21}}{\text{, 34}}{\text{, 55}}{\text{, 89}}{\text{, 144}}{\text{, 233}}{\text{, 377}}{\text{, 610}} \hfill \\ \end{array} \]
\[\begin{array}{l} {\text{Некто приобрёл пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон}} \hfill \\ {\text{загон}}{\text{. Сколько кроликов у него будет через а) год}}{\text{, б) }}n{\text{ месяцев}}{\text{, если считать}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{что каждый месяц пара даёт в качестве приплода новую пару кроликов}}{\text{, которые}} \hfill \\ {\text{со второго месяца жизни также начинают давать новый приплод?}} \hfill \\ \end{array} \]
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}{F_{n + k}} = {F_{n - 1}}{F_k} + {F_n}{F_{k + 1}}. \hfill \\ ({\text{используйте индукцию по }}k) \hfill \\ \end{array} \]
Игрушка «Ханойские башни» имеет три стержня. На одном находится пирамидка из нескольких колец (уменьшающихся снизу вверх). Эту пирамидку нужно переложить на другой стержень, соблюдая правила игры: нельзя переносить сразу несколько колец и нельзя класть большее кольцо поверх меньшего. Какое минимальное количество шагов понадобится, чтобы переложить башню высотой в n колец со стержня A на стержень B?
\[{a_1} = 2,{\text{ }}{a_2} = 3,{\text{ }}{a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n - 2}}} {\text{ if }}n \geqslant 3.{\text{ Find }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}.\]