tag:
окружность_и_круг
6.
\[\begin{array}{l} {\text{Окружность с центром }}O{\text{, вписанная в треугольник }}ABC{\text{, касается его сторон}}\\ AB,AC{\text{ и }}BC{\text{ в точках }}{C_1},{B_1}{\text{ и }}{A_1}{\text{ соответственно}}{\text{. Биссектриса угла }}A{\text{ пересекает}}\\ {\text{эту окружность в точке }}Q{\text{, лежащей внутри треугольника }}A{B_1}{C_1}.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}{C_1}Q{\text{ - биссектриса угла }}A{C_1}{B_1}.\\ {\text{б) Найдите расстояние от точки }}O{\text{ до центра окружности}}{\text{, вписанной в}}\\ {\text{треугольник }}A{B_1}{C_1}{\text{, если известно}}{\text{, что }}BC = 10,AB = 17,AC = 21. \end{array}\]
\[{\text{Найдите площадь фигуры}}{\text{, закрашенной синим цветом}}{\text{.}}\]
AB и CD - два диаметра окружности с центром в точке O. Луч OE - биссектриса угла AOC. OE пересекает окружность в точке K, причём KE = KO. Периметр треугольника KCO в 3 раза больше радиуса окружности. Докажите, что точки E, A, C и O лежат на одной окружности.
Пусть V - площадь области, заштрихованной вертикально, а W - площадь области, заштрихованной горизонтально, диаметры кругов равны 6, 4, 4 и 2. Тогда
(A) 2V = W
(B) 3V = 2W
(C) V = W
(D) V > W
(E) отношение V/W зависит от расположения кругов.
Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом \[\alpha \]; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведенной к основанию.
Найдите множество середин хорд, проходящих через заданную точку A внутри окружности.
\[\begin{array}{l} {\text{Окружности радиусов 1 и 7 с центрами }}{O_1}{\text{ и }}{O_2}{\text{ соответственно касаются}} \hfill \\ {\text{в точке }}A.{\text{ Прямая}}{\text{, проходящая через точку }}A{\text{, вторично пересекает меньшую}} \hfill \\ {\text{окружность в точке }}B{\text{, а большую - в точке }}C.{\text{ Найдите площадь треугольника}} \hfill \\ BC{O_2}{\text{, если }}\angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Окружность проходит через вершины }}A,{\text{ }}B{\text{ и }}D{\text{ параллелограмма }}ABCD{\text{,}} \hfill \\ {\text{пересекает сторону }}BC{\text{ в точках }}B{\text{ и }}E{\text{ и пересекает продолжение стороны}} \hfill \\ CD{\text{ за точку }}D{\text{ в точке }}K. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}AE = AK. \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение }}KE:BD{\text{, если }}\angle BAD = {60^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Окружность с центром }}{O_1}{\text{ касается оснований }}BC{\text{ и }}AD{\text{ и боковой стороны }}AB{\text{ трапеции}} \hfill \\ ABCD.{\text{ Окружность с центром }}{O_2}{\text{ касается сторон }}BC,{\text{ }}CD{\text{ и }}AD.{\text{ Известно}}{\text{, что }}AB = 10, \hfill \\ BC = 9,{\text{ }}CD = 30,{\text{ }}AD = 39. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}{O_1}{O_2}{\text{ параллельна основаниям трапеции }}ABCD. \hfill \\ {\text{б) Найдите }}{O_1}{O_2}. \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Четырёхугольник }}ABCD{\text{ вписан в окружность радиуса }}R = 8.{\text{ Известно}}{\text{, что}} \hfill \\ AB = BC = CD = 12. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BC{\text{ и }}AD{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Найдите }}AD. \hfill \\ \end{array}\]
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 4 и MK = 12.
Из точки A к окружности проведены касательная AM (M - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L (AK = AL + LK), такая, что треугольник AMK остроугольный. Расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности.
а) Докажите, что угол AMK равен \[{60^ \circ }\].
б) Найдите площадь треугольника AMK, если L - середина AK и радиус окружности равен 2.
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей - в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает бо'льшую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L - отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.
\[\begin{array}{l} {\text{На отрезке }}KM{\text{ выбрана точка }}L{\text{ такая}}{\text{, что }}KL = 6,{\text{ }}LM = 30.{\text{ На отрезках}} \hfill \\ KL,{\text{ }}LM{\text{ и }}KM{\text{ как на диаметрах в одну сторону построены полуокружности}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Окружность }}\omega {\text{ касается всех трёх полуокружностей}}{\text{. Найдите радиус }}\omega . \hfill \\ \end{array}\]
Если сторона квадрата равна 4, то чему равна сумма площадей шести изображённых полукругов?

Найдите отношение площадей описанного около квадрата круга и вписанного в этот же квадрат круга.
\[\begin{array}{l} {\text{Рассмотрим правильный }}n{\text{ - угольник}}{\text{, длина стороны которого равна }}\frac{1}{n}. \hfill \\ {\text{Если }}n \to \infty {\text{, то многоугольник стремится к кругу}}{\text{. Найдите площадь}} \hfill \\ {\text{этого круга}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
Квадрат 2 на 2 разбит на некоторое количество квадратиков (вообще говоря различных). В каждый из этих квадратиков вписан круг. Докажите, что сумма площадей кругов равна \[\pi \]. Аналогично для куба и шаров: если ребро куба равно 2, то сумма объёмов шаров равна \[\frac{4}{3}\pi \].
Соотношение между вписанным и центральным углом в окружности
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
Касательная к окружности. Взаимное расположение касательной и радиуса, проведённого в точку касания. Отрезки касательных
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 42°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Определение и измерение угла, вписанного в окружность
Соотношение между сторонами четырёхугольника, описанного около окружности
Теорема о касательной и секущей к окружности
Найти длину дуги окружности (см. рис.)
6.
Любой прямоугольник можно вписать в окружность. Fatal error: Uncaught Error: Call to a member function fetch_object() on boolean in /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/page/Page.class.php:315 Stack trace: #0 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/tfstatement/Tf_Statement.class.php(79): Page->get_all_imgs_from_arr(false) #1 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/tfstatement/Tf_Statement.class.php(73): Tf_Statement->get_all_tfs_img() #2 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/tfstatement/Tf_Statement.class.php(59): Tf_Statement->get_tfs_statement() #3 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/tag/Tag.class.php(138): Tf_Statement->show_tfs_in_subgoal() #4 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/tag/Tag.class.php(178): Tag->get_all_tfs_for_tag() #5 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/page/page_template.php(622): Tag->get_all_content() #6 /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/tag/tag.php(6): require_once('/home/virtwww/w...') #7 {main} thrown in /home/virtwww/w_giatrener-ru_b7b4c9ed/http/page/Page.class.php on line 315