На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно одному метру.

Докажите, что как бы ни была плоскость раскрашена в три цвета, на ней всегда найдутся две точки, расстояние между которыми равно 1.

Можно ли на доске \[17 \times 17\] закрасить некоторые клетки так, чтобы у каждой клетки (закрашенной и незакрашенной) был ровно один закрашенный сосед по стороне?

Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером \[2 \times 2\] и \[1 \times 4\]. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку \[2 \times 2\]. Вместо нее достали плитку размером \[1 \times 4\]. Докажите, что выложить теперь дно коробки не удастся.

Вершины выпуклого многоугольника раскрашены в три цвета так, что каждый цвет присутствует и никакие две соседние вершины не окрашены в один цвет. Докажите, что многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника вершины были трёх разных цветов.