\[\begin{array}{l} \frac{n}{{\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + ... + \frac{1}{{{x_n}}}}} \leqslant \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} \leqslant \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \leqslant \sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}}{n}} \hfill \\ ({x_i} \geqslant 0) \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть дано линейное пространство }}L{\text{ со скалярным произведением }}\left\langle {x,y} \right\rangle . \hfill \\ {\text{Пусть }}\left\| x \right\|{\text{ - норма}}{\text{, порождённая скалярным произведением}}{\text{, т}}{\text{.е}}{\text{. }}\left\| x \right\| = \sqrt {\left\langle {x,x} \right\rangle } . \hfill \\ {\text{Тогда }}\forall x,y \in L \hfill \\ \left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right| \leqslant \left\| x \right\| \cdot \left\| y \right\|{\text{,}} \hfill \\ {\text{причём равенство достигается тогда и только тогда}}{\text{, когда векторы }}x{\text{ и }}y \hfill \\ {\text{коллинеарны}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
\[{\left( {{a_1}{b_1} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + ... + b_n^2} \right)\]

\[\begin{array}{l} {\text{Для треугольника }}ABC{\text{ выполняется неравенство }}\left| {AC} \right| \leqslant \left| {AB} \right| + \left| {BC} \right|{\text{,}} \hfill \\ {\text{причём равенство достигается только в том случае}}{\text{, когда треугольник}} \hfill \\ {\text{вырожден и }}B{\text{ лежит на отрезке }}AC. \hfill \\ \end{array}\]

\[\sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} + \sqrt {b_1^2 + ... + b_n^2} \geqslant \sqrt {{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)}^2} + ... + {{\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}^2}} \]

\[\begin{array}{l} {\text{Если }}{a_1} \geqslant {a_2} \geqslant ... \geqslant {a_n}{\text{ и }}{b_1} \geqslant {b_2} \geqslant ... \geqslant {b_n}{\text{, то}} \hfill \\ \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{b_k}} \geqslant \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}} } \right). \hfill \\ {\text{Если }}{a_1} \geqslant {a_2} \geqslant ... \geqslant {a_n}{\text{ и }}{b_1} \leqslant {b_2} \leqslant ... \leqslant {b_n}{\text{, то}} \hfill \\ \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{b_k}} \leqslant \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{b_k}} } \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Если }}{a_1} \leqslant {a_2} \leqslant ... \leqslant {a_n},{\text{ }}{b_1} \geqslant {b_2} \geqslant ... \geqslant {b_n}{\text{ > 0}}{\text{, }}{\mu _1} + {\mu _2} + ... + {\mu _n} = 1,{\text{ }}{\mu _k} > 0,{\text{ то}} \hfill \\ \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}} } \right) \cdot \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{b_k}} } \right) \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}{b_k}} . \hfill \\ {\text{Если }}0 < {a_1} \leqslant {a_2} \leqslant ... \leqslant {a_n},{\text{ }}0 < {b_1} \leqslant {b_2} \leqslant ... \leqslant {b_n}{\text{, }}{\mu _1} + {\mu _2} + ... + {\mu _n} = 1,{\text{ }}{\mu _k} > 0,{\text{ то}} \hfill \\ \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}} } \right) \cdot \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{b_k}} } \right) \leqslant \sum\limits_{k = 1}^n {{\mu _k}{a_k}{b_k}} {\text{,}} \hfill \\ {\text{причём равенство имеет место лишь в том случае}}{\text{, когда }}{a_1} = ... = {a_n},{b_1} = ... = {b_n}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Определим взвешенное среднее степенное:}} \hfill \\ {M_p}\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}x_i^p} } \right)^{\frac{1}{p}}} \hfill \\ {M_0}\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {x_i^{{w_i}}} \hfill \\ {M_{ - \infty }}\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = \min \left\{ {{x_1},...,{x_n}} \right\} \hfill \\ {M_{ + \infty }}\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = \max \left\{ {{x_1},...,{x_n}} \right\} \hfill \\ {w_i} > 0,{\text{ }}\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}} = 1 \hfill \\ {\text{Тогда }}p < q \Rightarrow {M_p}\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) \leqslant {M_q}\left( {{x_1},...,{x_n}} \right){\text{,}} \hfill \\ {\text{при этом равенство выполняется только в случае }}{x_1} = {x_2} = ... = {x_n}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Если }}p,q > 0{\text{ и }}\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,{\text{ то}} \hfill \\ {a_1}{b_1} + ... + {a_n}{b_b} \leqslant {\left( {a_1^p + ... + a_n^p} \right)^{\frac{1}{p}}}{\left( {b_1^q + ... + b_n^q} \right)^{\frac{1}{q}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть на }}\left[ {a;b} \right]{\text{ задана функция }}f\left( x \right){\text{, производная которой }}f'\left( x \right){\text{ не возрастает}} \hfill \\ {\text{(т}}{\text{.е}}{\text{. }}f{\text{ выпукла вверх)}}{\text{, тогда для точек }}{x_1},...,{x_n}{\text{ на этом отрезке и положительных}} \hfill \\ {\text{чисел }}{p_1},...,{p_n}{\text{ с суммой }}{p_1} + .. + {p_n} = 1{\text{ верно}}{\text{, что}} \hfill \\ f\left( {{p_1}{x_1} + ... + {p_n}{x_n}} \right) \geqslant {p_1}f\left( {{x_1}} \right) + ... + {p_n}f\left( {{x_n}} \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Для любых положительных }}x,y,\alpha ,\beta ,{\text{ где }}\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } = 1 \hfill \\ {\text{имеет место неравенство}} \hfill \\ \frac{{{x^\alpha }}}{\alpha } + \frac{{{y^\beta }}}{\beta } \geqslant xy. \hfill \\ \end{array}\]