tag:
принцип_Дирихле
40
Теорема
§

Теорема о дробных частях

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\alpha ,\beta {\text{ - действительные числа}}{\text{, причём число }}\alpha {\text{ - иррациональное и }}I{\text{ - некоторый}} \hfill \\ {\text{промежуток длины }}h{\text{, содержащийся в отрезке }}\left[ {0;1} \right].{\text{ Рассмотрим бесконечную}} \hfill \\ {\text{последовательность }}\alpha + \beta ,{\text{ }}2\alpha + \beta ,...,{\text{ }}n\alpha + \beta ,...{\text{ Вероятность того}}{\text{, что произвольно}} \hfill \\ {\text{взятое число этой последовательности имеет дробную часть}}{\text{, принадлежащую}} \hfill \\ {\text{промежутку }}I{\text{, равна }}h. \hfill \\ \end{array}\]
691.
В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.
692.
Докажите, что из любых 12 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.
707.
Show that if n+1 integers are choosen from set {1,2,3,…,2n}, then there are always two which differ by 1.
778.
На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольных работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?
858.
\[\begin{array}{l} {\text{В круге радиуса 1 бегают 5 муравьёв}}{\text{. Верно ли}}{\text{, что в любой момент времени}} \hfill \\ {\text{найдутся два из них}}{\text{, расстояние между которыми не превосходит }}\sqrt 2 ? \hfill \\ \end{array}\]
859.
\[\begin{array}{l} {\text{В сфере радиуса 1 летают 9 мух}}{\text{. Верно ли}}{\text{, что в любой момент времени}} \hfill \\ {\text{найдутся две из них}}{\text{, расстояние между которыми не превосходит }}\sqrt 3 ? \hfill \\ \end{array}\]
937.
Жили-были 20 шпионов. Каждый из них написал донос на 10 своих коллег. Докажите, что не менее чем 10 пар шпионов донесли друг на друга.