tag:
НОД_и_НОК
Теорема
§

Соотношение Безу

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b{\text{ - целые числа}}{\text{, хотя бы одно из которых не ноль}}{\text{. Тогда}} \hfill \\ {\text{существуют такие целые числа }}x,y{\text{, что выполняется соотношение}} \hfill \\ {\text{НОД}}\left( {a,b} \right) = x \cdot a + y \cdot b. \hfill \\ \end{array}\]
\[{\text{Найдите НОД и НОК чисел 255 и 510}}{\text{.}}\]
Проверить, является ли сократимой дробь \[\frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\].
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что:}} \hfill \\ {\text{а) НОД}}\left( {kx,ky} \right) = k \cdot {\text{НОД}}\left( {x,y} \right); \hfill \\ {\text{б) НОК}}\left( {kx,ky} \right) = k \cdot {\text{НОК}}\left( {x,y} \right). \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,m,n \in \mathbb{N}.{\text{ Докажите}}{\text{, что если НОД}}\left( {m,n} \right) = 1, \hfill \\ {\text{то НОД}}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^m} - {a^m},{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}} \right) = 1. \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что если для натуральных чисел }}x,y,z \hfill \\ {\text{выполняется равенство }}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}{\text{, то НОД}}\left( {x,y} \right) > 1. \hfill \\ \end{array}\]