$%\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{dx}}{{1 + \varepsilon \cdot \cos x}}} ,{\text{ }}0 < \varepsilon < 1 $%
\[\cos \left( {2\pi - x} \right) = \cos x \Rightarrow \]
$%\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{dx}}{{1 + \varepsilon \cdot \cos x}}} = 2\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \varepsilon \cdot \cos x}}} {\text{,}}$%
\[\begin{array}{l}
{\text{далее можно применить универсальную}}\\
{\text{тригонометрическую подстановку}}{\text{.}}
\end{array}\]
$%\frac{{2\pi }}{{\sqrt {1 - {\varepsilon ^2}} }}$%