\[\begin{array}{l} {\text{Область определения функции задаётся неравенством:}}\\ - 1 \le {\log _{x + 4}}\left( {2x + 1} \right) \le 1.\\ {\text{Перепишем неравенство в виде:}}\\ - {\log _{x + 4}}\left( {x + 4} \right) \le {\log _{x + 4}}\left( {2x + 1} \right) \le {\log _{x + 4}}\left( {x + 4} \right).\\ {\text{Подлогарифмическое выражение }}2x + 1{\text{ должно быть}}\\ {\text{положительным}}{\text{, т}}{\text{.е}}{\text{. }}x > - \frac{1}{2}.{\text{ Значит основание логарифма}}\\ x + 4{\text{ больше 1}}{\text{, следовательно неравенство равносильно}}\\ {\text{системе:}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{x + 4}} \le 2x + 1 \le x + 4\\ x > - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ {\text{Из неравенства }}2x + 1 \le x + 4{\text{ получаем}}{\text{, что }}x \le 3.\\ {\text{Решим неравенство }}\frac{1}{{x + 4}} \le 2x + 1.{\text{ Учтём}}{\text{, что }}x > - \frac{1}{2} \Rightarrow \\ {\text{можем домножить неравенство на }}x + 4,{\text{ не меняя знака}}{\text{,}}\\ {\text{получаем }}\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) \ge 1,{\text{ т}}{\text{.е}}{\text{. }}x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 9 - \sqrt {57} }}{4}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 9 + \sqrt {57} }}{4}; + \infty } \right).\\ {\text{Учитывая}}{\text{, что }} - \frac{1}{2} < x \le 3,{\text{ получаем область определения функции:}}\\ D\left( y \right) = \left[ {\frac{{ - 9 + \sqrt {57} }}{4};3} \right]. \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Функция }}y = {\log _{x + 4}}\left( {2x + 1} \right){\text{ непрерывна на своей области определения}}{\text{.}}\\ {\text{Это видно из равенства }}{\log _{x + 4}}\left( {2x + 1} \right) = \frac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{{\ln \left( {x + 4} \right)}}{\text{, т}}{\text{.к}}{\text{. знаменатель}}\\ {\text{дроби положителен}}{\text{.}}\\ {\text{Значит непрерывна и исходная функция }}y = \arcsin \left( {{{\log }_{x + 4}}\left( {2x + 1} \right)} \right)\\ {\text{как композиция непрерывных функций}}{\text{. При }}x \in \left[ {\frac{{ - 9 + \sqrt {57} }}{4};3} \right]\\ {\text{непрерывная функция }}{\log _{x + 4}}\left( {2x + 1} \right){\text{ принимает все значения}}\\ {\text{из отрезка }}\left[ { - 1;1} \right]{\text{, значит непрерывная функция }}\arcsin \left( {{{\log }_{x + 4}}\left( {2x + 1} \right)} \right)\\ {\text{принимает все значения из отрезка }}\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]. \end{array}\] \[{\text{На рисунке изображён график функции }}y = \arcsin \left( {{{\log }_{x + 4}}\left( {2x + 1} \right)} \right).\]

\[\begin{array}{l} D\left( y \right) = \left[ {\frac{{ - 9 + \sqrt {57} }}{4};3} \right]\\ E\left( y \right) = \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \end{array}\]