\[{\text{Решите систему:}}\]
$%\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 14 \le 0\\{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} + 64 - 20{x^2} - 20{y^2} = 8xy\end{array} \right.$%
\[\begin{array}{l}{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} + 64 - 20{x^2} - 20{y^2} = 8xy \Leftrightarrow \\\left( {{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 8} \right) \cdot \left( {{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 8} \right) = 0\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} + 64 - 20{x^2} - 20{y^2} = 8xy \Leftrightarrow \\\left( {{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 8} \right) \cdot \left( {{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \\\left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 8 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\end{array} \right.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{1 случай}}\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 14 \le 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\end{array} \right.\\{\text{Изобразим эти множества на плоскости}}{\text{.}}\\{\text{Уравнение задаёт окружность с центром }}\left( { - 1; - 1} \right){\text{ радиуса }}\sqrt {10} {\text{,}}\\{\text{а неравенство - нижнюю полуплоскость}}{\text{, ограниченную прямой}}\\x + 3y + 14 = 0,{\text{ которая касается окружности в точке }}\left( { - 2; - 4} \right).\\{\text{Значит}}{\text{, }}\left( { - 2, - 4} \right){\text{ - единственное решение в данном случае}}{\text{.}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{2 случай}}\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 14 \le 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\end{array} \right.\\{\text{Множества не пересекаются}} \Rightarrow {\text{система не имеет решений}}{\text{.}}\end{array}\]
\[\left( { - 2, - 4} \right)\]