\[{\text{При каких целых значениях параметра }}k{\text{ система неравенств}}\]
$%\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x + 4y \le {k^2} + 10k + 20\\5{x^2} + 5{y^2} - 2kx + 4ky \le 5 - {k^2}\end{array} \right.$%
\[{\text{имеет хотя бы одно решение?}}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Неравенство }}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} \leqslant {R^2}{\text{ задаёт на координатной}}\\{\text{плоскости круг с центром в точке }}\left( {a;b} \right){\text{ радиуса }}R.\\{\text{Оба неравенства системы можно привести к этому виду}}{\text{.}}\\{\text{Система имеет хотя бы одно решение означает}}{\text{,}}\\{\text{что круги}}{\text{, задаваемые неравенствами}}{\text{, пересекаются}}{\text{.}}\\{\text{Это будет тогда и только тогда}}{\text{, когда расстояние}}\\{\text{между их центрами меньше или равно сумме их}}\\{\text{радиусов}}{\text{.}}\\{\text{Расстояние между точками }}\left( {{x_1},{y_1}} \right){\text{ и }}\left( {{x_2},{y_2}} \right){\text{ находится}}\\{\text{по формуле }}d = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Перепишем первое неравенство в виде}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le {\left( {k + 5} \right)^2}.\\{\text{Это неравенство на координатной плоскости задаёт}}\\{\text{круг с центром в точке }}\left( {1; - 2} \right){\text{ радиуса }}\left| {k + 5} \right|.\\{\text{Рассмотрим второе неравенство}}{\text{.}}\\{\text{Разделим неравенство на 5}}{\text{.}}\\{x^2} + {y^2} - \frac{2}{5}kx + \frac{4}{5}ky \le 1 - \frac{1}{5}{k^2}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Выделим полные квадраты}}{\text{.}}\\\left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{k}{5} \cdot x + \frac{{{k^2}}}{{25}}} \right) + \left( {{y^2} + 2 \cdot \frac{{2k}}{5} \cdot y + \frac{{4{k^2}}}{{25}}} \right) \le 1 - \frac{{5{k^2}}}{{25}} + \frac{{{k^2}}}{{25}} + \frac{{4{k^2}}}{{25}}.\\{\text{Получаем:}}\\{\left( {x - \frac{k}{5}} \right)^2} + \left( {y + \frac{{2k}}{5}} \right) \le 1{\text{ - круг с центром в точке}}\\\left( {\frac{k}{5}; - \frac{{2k}}{5}} \right){\text{ радиуса 1}}{\text{.}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Система имеет хотя бы одно решение означает}}{\text{,}}\\{\text{что круги}}{\text{, задаваемые неравенствами}}{\text{, пересекаются}}{\text{.}}\\{\text{Это будет тогда и только тогда}}{\text{, когда расстояние}}\\{\text{между их центрами меньше или равно сумме их}}\\{\text{радиусов}}{\text{.}}\\{\text{Расстояние между точками }}\left( {{x_1},{y_1}} \right){\text{ и }}\left( {{x_2},{y_2}} \right){\text{ находится}}\\{\text{по формуле }}d = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Получаем неравенство:}}\\\sqrt {{{\left( {1 - \frac{k}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + \frac{{2k}}{5}} \right)}^2}} \le 1 + \left| {k + 5} \right| \Leftrightarrow \\\frac{{\sqrt 5 }}{5}\left| {k - 5} \right| \le 1 + \left| {k + 5} \right| \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {k - 5} \right| \le 5 + 5\left| {k + 5} \right| \Leftrightarrow \\k \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 9\sqrt 5 - 25}}{4}} \right] \cup \left[ {\frac{{11\sqrt 5 - 35}}{4}; + \infty } \right).\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Система имеет решения при}}\\{\text{всех целых }}k \le - 12{\text{ и }}k \ge - 2.\end{array}\]