\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sin \alpha \left( {1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \frac{\alpha }{2}} \right) = \operatorname{tg} \alpha . \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите тождество:}}\] $%\frac{{{{\left( {\sin t + \cos t} \right)}^2} - 1}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} t - \sin t\cos t}} = 2{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}t$%

\[\sin \frac{\pi }{{16}}{\cos ^3}\frac{\pi }{{16}} - {\sin ^3}\frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{{16}}\]

\[{\text{Упростите выражение: }}\frac{{{{\sin }^2}2x}}{{\sin x + \sin 3x}}.\]