\[{\text{Докажите}}{\text{, что если }}{x^{{2^k}}} + 1 \equiv 0\left( {\bmod p} \right){\text{, то }}p \equiv 1\left( {\bmod {2^{k + 1}}} \right).\]

\[{\text{Решить в натуральных числах уравнение }}{2^k} - {5^m} = 3.\]