Теорема №48

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{, поле }}F{\text{ - расширение поля }}{\mathbb{Z}_p}{\text{, содержащее }}{p^n} \hfill \\ {\text{элементов}}{\text{. Тогда}} \hfill \\ {\text{1) каждый неприводимый над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ многочлен }}f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right] \hfill \\ {\text{степени }}m{\text{, где }}m{\text{ - делитель }}n{\text{, в поле }}F{\text{ имеет ровно }}m{\text{ различных корней;}} \hfill \\ {\text{2) каждый элемент }}\theta \in F{\text{ является корнем некоторого неприводимого}} \hfill \\ {\text{над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ нормированного многочлена }}f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]{\text{ степени }}m{\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}m{\text{ - делитель }}n,{\text{ и не является корнем никакого другого неприводимого}} \hfill \\ {\text{нормированного многочлена степени }}k,{\text{ где }}k \leqslant n. \hfill \\ \end{array}\]

комментарии