\[{\text{Если }}h\left( x \right){\text{ неприводим над }}{\mathbb{Z}_p}{\text{, то }}{\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]/\left( {h\left( x \right)} \right){\text{ является полем}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Для каждого простого }}p{\text{ и натурального }}n{\text{ существует конечное поле из }}{p^n} \hfill \\ {\text{элементов}}{\text{. Любое конечное поле из }}q = {p^n}{\text{ элементов изоморфно полю}} \hfill \\ {\text{разложения многочлена }}{x^q} - x{\text{ над полем }}{\mathbb{F}_p}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}K{\text{ - конечное поле из }}q{\text{ элементов}}{\text{. Тогда }}\exists a \in K\backslash \left\{ 0 \right\} \hfill \\ {\text{такой}}{\text{, что }}\left\{ {1,a,{a^2},...,{a^{q - 2}}} \right\} = K\backslash \left\{ 0 \right\}. \hfill \\ {\text{Такой }}a{\text{ называется примитивным элементом поля }}K. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}{N_p}\left( n \right){\text{ - множество неприводимых нормированных многочленов}} \hfill \\ {\text{степени }}n{\text{ над полем }}{\mathbb{Z}_p}. \hfill \\ {\text{Произведение всех неприводимых нормированных многочленов над}} \hfill \\ {\text{полем }}{\mathbb{Z}_p},{\text{ степени которых являются делителями числа }}n{\text{, равно }}{x^{{p^n}}} - x{\text{,}} \hfill \\ {\text{т}}{\text{.е}}{\text{.}} \hfill \\ {x^{{p^n}}} - x = \prod\limits_{m|n} {\prod\limits_{g \in {N_p}\left( m \right)} {g\left( x \right)} } . \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Если }}p{\text{ - простое число}}{\text{, }}n \geqslant 1,{\text{ }}{M_p}\left( n \right){\text{ - число неприводимых}} \hfill \\ {\text{нормированных многочленов степени }}n{\text{ над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{, то}} \hfill \\ {M_p}\left( n \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{m|n} {\mu \left( m \right){p^{\frac{n}{m}}}} . \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{, поле }}F{\text{ - расширение поля }}{\mathbb{Z}_p}{\text{, содержащее }}{p^n} \hfill \\ {\text{элементов}}{\text{. Тогда}} \hfill \\ {\text{1) каждый неприводимый над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ многочлен }}f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right] \hfill \\ {\text{степени }}m{\text{, где }}m{\text{ - делитель }}n{\text{, в поле }}F{\text{ имеет ровно }}m{\text{ различных корней;}} \hfill \\ {\text{2) каждый элемент }}\theta \in F{\text{ является корнем некоторого неприводимого}} \hfill \\ {\text{над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ нормированного многочлена }}f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]{\text{ степени }}m{\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}m{\text{ - делитель }}n,{\text{ и не является корнем никакого другого неприводимого}} \hfill \\ {\text{нормированного многочлена степени }}k,{\text{ где }}k \leqslant n. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{, поле }}F{\text{ - расширение поля }}{\mathbb{Z}_p}{\text{, содержащее }}{p^n} \hfill \\ {\text{элементов}}{\text{. Тогда}} \hfill \\ {\text{1) если }}\theta \in F{\text{ - корень неприводимого над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ многочлена}} \hfill \\ f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]{\text{ степени }}n{\text{, то элементы }}1,\theta ,{\theta ^2},...,{\theta ^{n - 1}}{\text{ - линейно независимы}} \hfill \\ {\text{над полем }}{\mathbb{Z}_p}; \hfill \\ 2){\text{ если }}\theta \in F{\text{ - корень неприводимого над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ многочлена}} \hfill \\ f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]{\text{ степени }}n{\text{, то элементы }}\theta ,{\theta ^p},{\theta ^{{p^2}}},...,{\theta ^{{p^{n - 1}}}}{\text{ - все различные}} \hfill \\ {\text{корни многочлена }}f\left( x \right){\text{ в поле }}F. \hfill \\ \end{array}\]