Теорема №49

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{, поле }}F{\text{ - расширение поля }}{\mathbb{Z}_p}{\text{, содержащее }}{p^n} \hfill \\ {\text{элементов}}{\text{. Тогда}} \hfill \\ {\text{1) если }}\theta \in F{\text{ - корень неприводимого над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ многочлена}} \hfill \\ f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]{\text{ степени }}n{\text{, то элементы }}1,\theta ,{\theta ^2},...,{\theta ^{n - 1}}{\text{ - линейно независимы}} \hfill \\ {\text{над полем }}{\mathbb{Z}_p}; \hfill \\ 2){\text{ если }}\theta \in F{\text{ - корень неприводимого над полем }}{\mathbb{Z}_p}{\text{ многочлена}} \hfill \\ f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]{\text{ степени }}n{\text{, то элементы }}\theta ,{\theta ^p},{\theta ^{{p^2}}},...,{\theta ^{{p^{n - 1}}}}{\text{ - все различные}} \hfill \\ {\text{корни многочлена }}f\left( x \right){\text{ в поле }}F. \hfill \\ \end{array}\]

комментарии