\[\begin{array}{l} {\text{ОДЗ: }}\frac{3}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{50}}{3}. \hfill \\ \overrightarrow a = \left\{ {1;1;1} \right\},{\text{ }}\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 3 \hfill \\ \overrightarrow b = \left\{ {\sqrt {x + 1} ;\sqrt {2x - 3} ;\sqrt {50 - 3x} } \right\},{\text{ }}\left| {\overrightarrow b } \right| = 4\sqrt 3 \hfill \\ {\text{Исходное неравенство имеет вид }}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \leqslant \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \Rightarrow \hfill \\ {\text{в силу неравенства КБШ верно }}\forall x{\text{ из ОДЗ}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\frac{3}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{50}}{3}\]