Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
§
\[\begin{array}{l}
{\text{Для любых двух векторов }}\overrightarrow a = \left\{ {{a_1},{a_2}} \right\}{\text{ и }}\overrightarrow b = \left\{ {{b_1},{b_2}} \right\}{\text{ выполняется неравенство}} \hfill \\
{\text{Коши - Буняковского - Шварца:}} \hfill \\
\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| \leqslant \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \left| {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right| \leqslant \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt {b_1^2 + b_2^2} {\text{, при этом равенство достигается}} \hfill \\
{\text{в том и только в том случае}}{\text{, когда векторы коллинеарны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Поэтому }}\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}. \hfill \\
{\text{Пример:}} \hfill \\
{\text{2}}\sqrt {x - 1} + 5x = \sqrt {\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 24} \right)} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{x}{5} \Leftrightarrow x = 5. \hfill \\
\end{array}\]1329.
\[2\sqrt {x - 1} + 5x = \sqrt {\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 24} \right)} \]
1330.
\[\begin{array}{l}
{\text{Числа }}x,y,z{\text{ таковы}}{\text{, что }}x + y + z = 1.{\text{ Доказать неравенство:}} \hfill \\
\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4y + 1} + \sqrt {4z + 1} < 5. \hfill \\
\end{array}\]
1331.
\[\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = {x^2} - 6x + 11\]
1336.
\[x\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} = 2\sqrt {1 + {x^2}} \]
1337.
\[{\text{Найдите наибольшее значение функции }}y = \sqrt {x + 28} + \sqrt {22 - x} .\]
1338.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите неравенство 4}}\sqrt a + 3\sqrt {16 - a} \leqslant 20{\text{ при любых }}a \in \left[ {0;16} \right]. \hfill \\
{\text{Когда достигается равенство?}} \hfill \\
\end{array}\]
1339.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что если }}a - b + c = 6,{\text{ то }}\sqrt {a + 1} + \sqrt {2 - b} + \sqrt {c + 3} \leqslant 6.\]
1340.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что если }}{a^2} + {b^2} \leqslant 32,{\text{ то }}\left| {a + b} \right| \leqslant 8.\]
1342.
\[\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x - 3} + \sqrt {50 - 3x} \leqslant 12\]